【AHOI2009】中国象棋 题解（线性DP+数学）

前言：这题主要是要会设状态，状态找对了问题迎刃而解。

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题目描述

这次小可可想解决的难题和中国象棋有关，在一个N行M列的棋盘上，让你放若干个炮（可以是0个），使得没有一个炮可以攻击到另一个炮，请问有多少种放置方法。大家肯定很清楚，在中国象棋中炮的行走方式是：一个炮攻击到另一个炮，当且仅当它们在同一行或同一列中，且它们之间恰好 有一个棋子。你也来和小可可一起锻炼一下思维吧！

输入格式

一行包含两个整数N，M，之间由一个空格隔开。

输出格式

总共的方案数，由于该值可能很大，只需给出方案数模9999973的结果。

数据范围

100%的数据中N和M均不超过100

50%的数据中N和M至少有一个数不超过8

30%的数据中N和M均不超过6

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设$f[i][j][k]$表示前$i$行中有$j$列放$1$个棋子，有$k$列放两个棋子的方案数。

自然而然考虑三种情况：

1.这一行不放棋子：$f[i][j][k]=f[i-1][j][k]$

2.这一行放一个棋子：

（1）选择在没有棋子的一列放一个棋子：$f[i][j][k]+=f[i][j-1][k]*(m-(j-1)-k)$

（2）选择在有$1$个棋子的一列放一个棋子：$f[i][j][k]+=f[i-1][j+1][k-1]*(j+1)$

3.这一行放两个棋子：

（1）$1$个棋子放在有$1$个棋子的一列，$1$个棋子放在没有棋子的一列：$f[i][j][k]+=f[i-1][j][k-1]*j*(m-j-(k-1))$(拥有$1$个棋子的列数是不变的（-1+1），拥有$2$个棋子的列数+1)

（2）$2$个棋子都放在有$1$个棋子的列上：$f[i][j][k]+=f[i-1][j+2][k-2]*C_{j+2}^2$

（3）$2$个棋子都放在没有棋子的列上：$f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k]*C_{m-(j-2)-k}^2$

写的时候考虑边界，最好开$long \ long$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int mod=9999973;
int f[110][110][110],n,m,ans;
int C(int a)
{
    return (a*(a-1)/2)%mod;
}
signed main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    f[0][0][0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++)
        for (int j=0;j<=m;j++)
            for (int k=0;k<=m-j;k++)
            {
                f[i][j][k]=f[i-1][j][k];
                if(k>=1)(f[i][j][k]+=f[i-1][j+1][k-1]*(j+1));
                if(j>=1)(f[i][j][k]+=f[i-1][j-1][k]*(m-j-k+1));
                if(k>=2)(f[i][j][k]+=f[i-1][j+2][k-2]*(((j+2)*(j+1))/2));
                if(k>=1)(f[i][j][k]+=f[i-1][j][k-1]*j*(m-j-k+1));
                if(j>=2)(f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k]*C(m-j-k+2));
                f[i][j][k]%=mod;
            }
    for (int i=0;i<=m;i++)
        for (int j=0;j<=m;j++) ans=(ans+f[n][i][j])%mod;
    printf("%lld",(ans+mod)%mod);
    return 0;
}