同余 学习笔记

前言：从寒假开始学了好几遍，都没完全掌握QAQ

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在讲同余之前，我们先来讲扩展欧几里得。

 

扩展欧几里得算法

首先，我们知道这样一个式子：

$gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$。

辗转相除法，可以用来求两个数的最大公因数。

而扩展欧几里得($exgcd$)，是用来求不定方程$ax+by=c$的解的。

裴蜀定理：设$a$和$b$不全为$0$，则存在$x$和$y$，使得$ax+by=gcd(a,b)$。

我们可以用数学归纳法证明。

在$gcd$的最后一步，当$b=0$时，$gcd(a,b)=a$。此时有一组解$x=1,y=0$。

当$b$不为$0$时，我们递归求$gcd(b,a%b)$。假设存在一对整数$x^{'},y^{'}$，满足

$bx^{'}+(a mod b)y^{'}=gcd(b,amodb)$。

因为$gcd(b,a mod b)=gcd(a,b)$，

所以$bx^{'}+(a mod b)y^{'}=gcd(a,b)$。

我们变换一下形式：$bx^{'}+(a-a/b*b)y^{'}=gcd(a,b)$，

移项得：$ay^{'}+b(x^{'}-a/by^{'}=gcd(a,b))$。

令$x=y{'},y=x^{'}-a/by^{'}$，我们就得到了$ax+by=gcd(a,b)$。

需要注意的是，通过$exgcd$找的解只是满足$ax+by=gcd(a,b)$的一组解，我们需要通过推导求得满足$ax+by=c$的解。

通过扩展欧几里得来推导同余方程的一组解

当$gcd(a,b)$整除$c$时，设$g=gcd(a,b)$，

现在有一组解$(x_{0},y_{0})$满足$ax_{0}+by_{0}=g$。

两边同时乘$c/g$，

则有$a(c/g*x_{0})+b(c/g*y_{0}=c)$,

对比原方程$ax+by=c$，

我们可以得到：

$x=c/g*x_{0},y=c/g*y_{0}$。

当$gcd(a,b)$不整除$c$时，原不定方程无整数解。

通过同余方程的一组解推导同余方程的通解

对于两组满足同余方程的解：

$ax_{i}+by_{i}=c$

$ax_{j}+by_{j}=c$(假设$i$大于$j$)

通过联立移项得到：$a(x_{i}-x_{j})=b(y_{j}-y_{i})$

两边同除以$g(gcd(a,b))$，

得到$\frac {a}{g} (x_{i}-x{j})=\frac {b}{g} (y_{j}-y_{i})$

因为$\frac {a}{g}$和$\frac {b}{g}$是互质的，所以$\frac {b}{g}$是$x_{i}-x_{j}$的倍数，$\frac {a}{g}$是$y_{j}-y_{i}$的倍数（$-\frac {a}{g}$是$y_{i}-y_{j}$的倍数）。

这样我们就知道了，$x$两个解的差值是$\frac {a}{g}$的倍数，$y$同理。

因此，

$x=x_{0}+\frac {b}{g}*k$

$y=y_{0}-\frac {a}{g}*k$

通过同余方程的通解推导同余方程的最小正整数解

通过$x=x_{0}+\frac {b}{g}*k$，

我们可以得到$xmod\frac {b}{g}=x_{0}$。

我们可以发现，当$x$为正整数时，通过上面的式子一定可以得出最小正整数解$x_{0}$

 

当求出的特解$x$小于$0$时，我们应该$while(x<0) x+=\frac {b}{g}$，让$x$大于$0$后，再进行操作。

对于$y$同理。

附扩展欧几里得模板代码：

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{//通过裴蜀定理的证明我们可以知道，当前状态的解时通过下一状态的解求得的，exgcd求解
 //本身就是一个自下而上递归的过程 
    int t;
    if (!b){x=1;y=0;}
    else{
        exgcd(b,a%b,x,y);
        t=x;
        x=y;//当前状态的x是下一状态的y 
        y=t-(a/b)*y;//求得这一阶段的y 
    }
}