区间DP 学习笔记
前言：本人是个DP蒟蒻，一直以来都特别害怕DP，终于鼓起勇气做了几道DP题，发现也没想象中的那么难？（又要被DP大神吊打了呜呜呜。
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首先，区间DP是什么？
区间DP是一种以区间长度为阶段的DP方法。这种DP的解法较为固定，一般都是先枚举区间长度，再枚举左端点，根据左端点+长度推出右端点，然后枚举中间的断点进行转移。
伪代码：
for (int len=2;len<=n;len++) for (int i=1;i<=n-len+1;i++) { int j=i+len-1; for (int k=i;k<j;k++) f[i][j]=max(f[i][j],f[i][k]+f[k+1][j]); ans=max(ans,f[i][j]); }
一句题外话：最短路算法中的佛洛依德算法的本质就是区间DP。
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区间DP有两种形式（还是需要选手自己转化的。
一.环型DP
1.石子合并
经典题目，每个OI初学者必做的一道题。
首先我们要解决的是环的问题。我们可以将长度扩大到原来的二倍，破换成链。这是一种非常重要的思想，以后做题会经常遇到。
然后我们考虑区间DP的问题。每个区间都是由子区间合并而来，代价是两个子区间之和。所以我们不妨枚举区间内的断点，看哪种合并方式能得到最优解。
所以不难得出状态转移方程：
$f1[i][j]=min(f1[i][j],f1[i][k]+f1[k+1][j])$
$f2[i][j]=max(f2[i][j],f2[i][k]+f2[k+1][j])$
初始化即为$f[i][i]=a[i]$。
Code:
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int f1[205][205],f2[205][205],s[205][205]; int a[205],sum[205],n,ans1,ans2; void init() { cin>>n; for (int i=1;i<=n;i++){ cin>>a[i]; a[i+n]=a[i]; } for (int i=1;i<=n*2;i++) { sum[i]=sum[i-1]+a[i]; f2[i][i]=0;f1[i][i]=0; } } void dp() { for (int l=2;l<=n;l++) for (int i=1;i<=2*n-l+1;i++) { int j=i+l-1; f1[i][j]=0x7fffffff/2;f2[i][j]=0; for (int k=i;k<j;k++) { f1[i][j]=min(f1[i][j],f1[i][k]+f1[k+1][j]); f2[i][j]=max(f2[i][j],f2[i][k]+f2[k+1][j]); } f1[i][j]+=sum[j]-sum[i-1]; f2[i][j]+=sum[j]-sum[i-1]; } ans1=0x7fffffff/2;ans2=0; for (int i=1;i<=n;i++) ans1=min(ans1,f1[i][i+n-1]); for (int i=1;i<=n;i++) ans2=max(ans2,f2[i][i+n-1]); } int main() { init(); dp(); cout<<ans1<<endl<<ans2<<endl; return 0; }
这也是一道环型DP，而且细节蛮多的，有兴趣不妨可以到我的博客里看一看。链接已备好。
二.链型DP
有些题太过于直白导致一眼看出状态转移方程，这里就不写了。直接上一道比较有难度的题。
根据题中的提示，我们发现区间$[i,j]$的转移有两种情况：
1.直接顺着走下来。
2.走到某处折返。
又因为老张只能关他相邻的灯，所以我们得出状态转移方程：
$f[i][j][0]=min(f[i+1][j][0]+(pos[i+1]-pos[i])*(sum[n]-sum[j]+sum[i]),f[i+1][j][1]+(pos[j]-pos[i])*(sum[n]-sum[j]+sum[i]))$
$f[i][j][1]=min(f[i][j-1][1]+(pos[j]-pos[j-1])*(sum[i-1]+sum[n]-sum[j-1]),f[i][j-1][0]+(pos[j]-pos[i])*(sum[i-1]+sum[n]-sum[j-1]))$
其中前缀和要预处理，$0$表示在左端点，$1$表示在右端点。
Code:
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; const int maxn=55; int f[maxn][maxn][2],n,c,pos[maxn],w[maxn],sum[maxn]; int main() { scanf("%d%d",&n,&c); for (int i=1;i<=n;i++) for (int j=1;j<=n;j++) f[i][j][0]=f[i][j][1]=0x3f3f3f3f; for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&pos[i],&w[i]),sum[i]=w[i]+sum[i-1]; f[c][c][0]=f[c][c][1]=0; for (int len=2;len<=n;len++) for (int i=1;i<=n-len+1;i++) { int j=i+len-1; f[i][j][0]=min(f[i+1][j][0]+(pos[i+1]-pos[i])*(sum[n]-sum[j]+sum[i]),f[i+1][j][1]+(pos[j]-pos[i])*(sum[n]-sum[j]+sum[i])); f[i][j][1]=min(f[i][j-1][1]+(pos[j]-pos[j-1])*(sum[i-1]+sum[n]-sum[j-1]),f[i][j-1][0]+(pos[j]-pos[i])*(sum[i-1]+sum[n]-sum[j-1])); } printf("%d",min(f[1][n][0],f[1][n][1])); return 0; }
后记：其实DP题目量还是比较大的，而且NOIp必考，所以要花大功夫在这上面。
