前缀和与差分学习笔记

对于一个数列 \(A\) ，我们这样定义它的前缀和数列 \(B\) ：

\[B_i = \sum\limits^{i}_{j = 1}A_j \]

我们可以简单地理解为前缀和数列的第 \(n\) 项就是原数列前 \(n\) 项的和。

For Example :

\(A: 1\ 2\ 4\ 1\ 6\ \ \ 7\\ B: 1\ 3\ 7\ 8\ 14\ 21\)

对于数列 \(A\) 求一个区间 \([l,r]\) 的和，可以通过其前缀和数列 \(B\) 来 \(O(1)\) 得到结果，其结果表示为前缀和相减的形式：

\[\text{sum}(l,r)=\sum\limits^{r}_{i = l}A_i=B_r - B_{l-1} \]

我们可以类似地求出树上的前缀和：我们设 \(all_{i}\) 为节点 \(i\) 到根节点的权值之和，\(\text{LCA}(x,y)\) 为 \(x\) 和 \(y\) 的最近公共祖先。分个类：

• 点权：\(x\sim y\) 的权值和为： \(all_x + all_y - all_{\text{LCA}(x,y)} - all_{fa_{\text{LCA}(x,y)}}\)
• 边权：\(x\sim y\) 的权值和为： \(all_x + all_y - 2 all_{\text{LCA}(x,y)}\)

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对于一个数列 \(A\) ，我们这样定义它的差分数列 \(B\) ：

\[B_1 = A_1, B_i=A_i-A_{i-1}(2\le i\le n) \]

差分可以当做是前缀和的逆运算。

For Example :
\( A:9\quad\ 3\ \ \ 5\quad \ \ 4\quad\ 2\\ B:9\ -6\ \ 2\ -1\ -2 \)

这个东西支持区间修改，以及在所有修改完之后再查询。

使数列 \(A\) 中的区间 \([l,r]\) 都加上 \(d\) 的话，我们只需要 \(B_l \leftarrow B_l + k,\ B_{r + 1} \leftarrow B_{r + 1} - k\) 就可以了。