基础数论记录

\(\mathfrak{Computers\ are\ fast,\ but\ not\ infinitely\ fast.}\)

这篇数论整理参考了某博客园大爷在2018-07-05撰写的博客《基础数论复习》。

费马小定理

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对于质数 \(p\) 和任何整数 \(a\) ，有 \(a^p\equiv a\pmod{p}\) 。

反之，若满足 \(a^p\equiv a\pmod{p}\) ，\(p\) 有很大概率是质数。

将两边同时约去一个 \(a\) ，则有 \(a^{p-1}\equiv1\pmod{p}\) 。

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二次探测定理

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如果 \(p\) 是奇素数，则 \(x^2≡1\pmod{p}\) 的解为 \(x≡1\) 或 \(x\equiv p-1\pmod{p}\) 。

这是很容易证明的：

\[\begin{array}{}x^2 \equiv 1 \pmod p \\x^2 -1 \equiv 0 \pmod p \\(x-1) (x+1)\equiv 0 \pmod p\end{array} \]

又\(\because p\) 为奇素数，有且仅有 \(1,p\) 两个因子，
\(\therefore\) 只有两解\(x \equiv 1\) 或 \(x \equiv p - 1 \pmod p\) 。

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生日悖论

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在一个班级里，假设有\(60\)人，所有人生日不同概率是多少？

依次按人考虑，第一个人有 \(1\) 的概率，第二个人要与第一个人不同就是 \(1-\frac{1}{365}\) ，第三个人与前两人不同，那么就是 \(1-\frac{2}{365}\) 。那么第 \(i\) 个人就是 \(1-\frac{i}{365}\) 。

那么很明显，我们可以推出：

\[\displaystyle \prod_{i=1}^{n} (1 - \frac{i-1}{365}) = \prod _{i=0}^{n-1}\frac{365-i}{365}=\frac{365^{\underline{n}}}{365^n} \]

设我们代入 \(60\) 进行计算，则概率等于 \(0.0058\) ，也就是说基本上不可能发生。

因为和大众的常识有些违背，所以称作生日悖论。

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朴素欧几里得

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\(\gcd(a,b) = \gcd(b, a \bmod b)\)。

对，就这个。没了？证明：假设 \(a=kb+r\) ，有$ r = a \bmod b$ 。不妨设 \(d\) 为 \(a\) 和 \(b\) 的一个任意一个公约数，则有 \(a \equiv b \equiv 0 \pmod d\) 。

由于同余的性质 \(a-kb \equiv r \equiv 0 \pmod d\) 因此 \(d\) 是 \(b\) 和 \(a\mod b\) 的公约数。

对于 \(a,b\) 有负数的情况，我们需要将他们其中一个负数加上另外一个数直到非负。（由于前面朴素欧几里得定理是不会影响的）两个负数，直接将整个式子反号，然后放到 \(c\) 上就行了。

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Will Update.