整数划分问题-解法汇总(暂有DP-递归)

整数划分问题是一个锻炼组合数学，递归以及动态规划很好的例子，虽然问题看似简单，但是其中玄机万千，有人转化成为背包问题，有人用生成函数解，有人以此作为企业面试题目，可见这种问题的认可度还是很高的。

整数划分问题可以出现很多变种问题：

　　1. 将n划分成若干正整数之和的划分数。(原题)
　　2. 将n划分成k个正整数之和的划分数。
　　3. 将n划分成最大数不超过k的划分数。
　　4. 将n划分成若干奇正整数之和的划分数。
　　5. 将n划分成若干不同整数之和的划分数......

第2,3,5的Code在北大研究生推免机试(校内)-复杂的整数划分中放出

具体来说，什么是整数划分呢？

• 假设有一个整数 n , 总存在 n=m₁+m₂+...+m_i; （mi为正整数，且1 <= m_i <= n），则{m₁,m₂,...,m_i}为n的一个划分。

 

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∞这里我先用动态规划和递归的思想来解答该问题：

• 我们定义一个状态如下: 当max(m₁,m₂,...,m_i)<=m，那么称这一状态属于n的一个m划分。这里我们记n的m划分的个数为f(n,m);
• 举个例子，当n=5时我们可以获得以下这几种划分（注意，例子中m>=5）

5 = 5 　　　　　　　————f(5,5)
   = 4 + 1 　　　　　　————f(5,4)
   = 3 + 2 　　　　　　　　　　|
   = 3 + 1 + 1 　　　　　　　　————f(5,3)
   = 2 + 2 + 1 　　　　　　　　　　|
   = 2 + 1 + 1 + 1 　　　　　　　　————f(5,2)
   = 1 + 1 + 1 + 1 + 1　　　　　　　　　————f(5,1)

 

根据n和m的关系，考虑以下几种情况：
　　1. 当n=1时，只有一种划分{1};
　　2. 当m=1时，只有一种划分{1,1,1,...,1};
　　3. 当n=m时，根据划分中是否包含n，可分为两种情况：
    　　(1) 划分中包含n的情况，只有一个即{n}；
    　　(2) 划分中不包含n的情况，这时划分中最大的数字也一定比n小，即n的所有(n-1)划分。

　　    因此 f(n,n) =1 + f(n,n-1);
　　4. 当n<m时，划分总等同于f(n,n);
　　5. 但n>m时，根据划分中是否包含最大值m，可以分为两种情况：
   　　 (1) 划分中包含m的情况，即{m, {x₁,x₂,...x_i}}, 其中{x₁,x₂,...x_i} 的和为n-m，由于m>n-m，因此是（n-m）的m划分，因此这种划分个数为f(n-m, m);
   　　 (2) 划分中不包含m的情况，则划分中所有值都比m小，即n的(m-1)划分，个数为f(n,m-1);因此 f(n, m) = f(n-m, m)+f(n,m-1);

 

　　　综合以上情况，我们可以看出，上面的结论具有递归定义特征，其中（1）和（2）属于回归条件，（3）和（4）属于特殊情况，将会转换为情况（5）。

　　　而情况（5）为通用情况，属于递推的方法，其本质主要是通过减小m以达到回归条件，从而解决问题。其递推表达式如下：

• f(n, m)= 1; 　　　　 (n=1 or m=1)
• f(n, m)=f(n, n);　　 (n<m)
• 1+ f(n, m-1);   　　 (n=m)
• f(n-m,m)+f(n,m-1); (n>m)

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依照上述解法，就能够写出如下Code了:

　　

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;

#define MAX 51

int dp[MAX][MAX];

void DP()
{
    for (int n = 1; n < MAX; n++)
    {
        for (int m = 1; m < MAX; m++)
        {
            if (n < m)
                dp[n][m] = dp[n][n];
            else if (n > m)
                dp[n][m] = dp[n - m][m] + dp[n][m - 1];
            else
                dp[n][m] = 1 + dp[n][m - 1];
        }
    }
}

int main()
{
    int num;    //输入整数
    DP();
    while (scanf("%d", &num) != EOF)
        printf("%d\n", dp[num][num]);

    return 0;
}

 

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其他变种：

 

1.将n划分成不大于m的划分法： 

 　　1).若是划分多个整数可以存在相同的：

 　　    dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m]

　　　　  dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。
     　　则划分数可以分为两种情况:
     　　a.划分中每个数都小于 m，相当于每个数不大于 m- 1, 故划分数为 dp[n][m-1].
    　　 b.划分中有一个数为 m. 那就在 n中减去 m ,剩下的就相当于把 n-m 进行划分， 故划分数为 dp[n-m][m];

　　 2).若是划分多个不同的整数：

　　    dp[n][m]= dp[n][m-1]+ dp[n-m][m-1]

 　　　   dp[n][m]表示整数 n 的划分中，每个数不大于 m 的划分数。
   　　 同样划分情况分为两种情况：
    　　a.划分中每个数都小于m,相当于每个数不大于 m-1,划分数为 dp[n][m-1].
    　　b.划分中有一个数为 m.在n中减去m,剩下相当对n-m进行划分，

　　　并且每一个数不大于m-1，故划分数为 dp[n-m][m-1]

　　 3).将n划分成k个数的划分法：

　　　dp[n][k]= dp[n-k][k]+ dp[n-1][k-1];

   　　方法可以分为两类讨论：
   　　　　第一类: n 份中不包含 1 的分法，为保证每份都 >= 2，可以先拿出 k 个 1 分
   　　到每一份，然后再把剩下的 n- k 分成 k 份即可，分法有: dp[n-k][k]
  　　 　　第二类: n 份中至少有一份为 1 的分法，可以先拿出一个 1 作为单独的1份，剩
   　　下的 n- 1 再分成 k- 1 份即可，分法有：dp[n-1][k-1]

　　 4).将n划分成奇正整数的划分法：

　　　只需将1)中第二重循环的m++改成m+=2,因为 <=某偶数 和 <= 某偶数-1 是相同的描述

 

• 以上三种的代码在北大2014研究生推免机试(校内)-复杂的整数划分中放出

 

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