限制性等距条件

限制性等距条件（Restricted Isometry Property, RIP），又称有限等距性质、约束等距性、有限等距性，作为压缩感知理论中的重要概念，描述了测量矩阵性质与稀疏信号恢复性能之间的关系。

数学定义

基本定义

对于矩阵\(\mathbf{A}{\;\in\;}\mathbb{C}^{m{\times}p}\)和整数\(k{\;\in\;}[1, p]\)，若存在常数\({\delta}_{k}{\;\in\;}(0,1)\)，使得对任意\(k-\)稀疏向量\(\mathbf{x}\)，均有

\[\begin{equation*} (1-{\delta}_{k})\|\mathbf{x}\|_{2}^{2} {\;\leq\;} \| \mathbf{A}\mathbf{x} \|_{2}^{2} {\;\leq\;} (1+{\delta}_{k})\|\mathbf{x}\|_{2}^{2} \end{equation*} \]

成立，则称矩阵\(\mathbf{A}\)满足具有限制性等距常数\({\delta}_{k}\)的\(k-\)限制性等距条件。

等价定义：矩阵范数

对于矩阵\(\mathbf{A}{\;\in\;}\mathbb{C}^{m{\times}p}\)和整数\(k{\;\in\;}[1, p]\)，若任意\(k\)列组成的子矩阵\(\mathbf{A}_{k}\)满足\(\| \mathbf{A}_{k}^{H}\mathbf{A}_{k} - \mathbf{I} \|_{2{\rightarrow}2}{\;\leq\;}{\delta}_{k}\)，则称矩阵\(\mathbf{A}\)满足具有限制性等距常数\({\delta}_{k}\)的\(k-\)限制性等距条件。
证明：根据原始定义，对于矩阵\(\mathbf{A}{\;\in\;}\mathbb{C}^{m{\times}p}\)和整数\(k{\;\in\;}[1, p]\)，存在常数\({\delta}_{k}{\;\in\;}(0,1)\)，使得对任意\(k-\)稀疏向量\(\mathbf{x}\)，条件\((1-{\delta}_{k})\|\mathbf{x}\|_{2}^{2} {\;\leq\;} \| \mathbf{A}\mathbf{x} \|_{2}^{2} {\;\leq\;} (1+{\delta}_{k})\|\mathbf{x}\|_{2}^{2}\) 与\(| \| \mathbf{A}_{k}\mathbf{x}_{k} \|_{2}^{2} - \| \mathbf{x}_{k} \|_{2}^{2} | {\;\leq\;} {\delta}_{k} \| \mathbf{x}_{k} \|_{2}^{2}\)等价。又有

\[\begin{align*} \| \mathbf{A}_{k}\mathbf{x}_{k} \|_{2}^{2} - \| \mathbf{x}_{k} \|_{2}^{2} &= <\mathbf{A}_{k}\mathbf{x}_{k}, \mathbf{A}_{k}\mathbf{x}_{k}>-<\mathbf{x}_{k}, \mathbf{x}_{k}> \\ &= <\mathbf{A}_{k}^{H}\mathbf{A}_{k}\mathbf{x}_{k}, \mathbf{x}_{k}>-<\mathbf{x}_{k}, \mathbf{x}_{k}> \\ &=<(\mathbf{A}_{k}^{H}\mathbf{A}_{k} - \mathbf{I})\mathbf{x}_{k}, \mathbf{x}_{k}> \end{align*} \]

由于\(\mathbf{A}_{k}^{H}\mathbf{A}_{k} - \mathbf{I}\)为Hermitian矩阵，根据瑞利商的定义，可以得到

\[\begin{equation*} \max_{\mathbf{x}_{k}{\neq}\mathbf{0}}\frac{<(\mathbf{A}_{k}^{H}\mathbf{A}_{k} - \mathbf{I})\mathbf{x}_{k}, \mathbf{x}_{k}>}{\|\mathbf{x}_{k}\|_{2}^{2}}=\|\mathbf{A}_{k}^{H}\mathbf{A}_{k} - \mathbf{I}\|_{2{\rightarrow}2}{\;\leq\;}{\delta}_{k} \end{equation*} \]

等价定义：矩阵特征值

对于矩阵\(\mathbf{A}{\;\in\;}\mathbb{C}^{m{\times}p}\)和整数\(k{\;\in\;}[1, p]\)，若任意\(k\)列组成的子矩阵\(\mathbf{A}_{k}\)满足\(\mathbf{A}_{k}^{H}\mathbf{A}_{k}\)的特征值均在\([1-{\delta}_{k}, 1+{\delta}_{k}]\)之间，则称矩阵\(\mathbf{A}\)满足具有限制性等距常数\({\delta}_{k}\)的\(k-\)限制性等距条件。
证明：由于\(\mathbf{A}_{k}^{H}\mathbf{A}_{k}\)为Hermitian矩阵，根据瑞利商的定义，有

\[\begin{equation*} \frac{\| \mathbf{A}_{k}\mathbf{x}_{k} \|_{2}^{2}}{\| \mathbf{x}_{k} \|_{2}^{2}}{\;\in\;}[{\lambda}_{\min}, {\lambda}_{\max}]{\;\subset\;}[1-{\delta}_{k}, 1+{\delta}_{k}] \end{equation*} \]

（由瑞利商得到的界是紧的）。

相关性质

限制性等距常数

1. 当限制性等距常数\({\delta}_{k}{\rightarrow}0\)时，有\(\| \mathbf{A}\mathbf{x} \|_{2}^{2} = \| \mathbf{x} \|_{2}^{2}\)，即对于任意\(k-\)稀疏向量\(\mathbf{x}\)，矩阵\(\mathbf{A}\)均表现为正交矩阵的性质。因此，矩阵的约束等距常数实际上可以评价该矩阵的非正交程度。
2. 另外，限制性等距常数随\(k\)单调不减，即当稀疏等级增加时，测量矩阵不会具备更好的正交条件。

与其他参数关系

1. 限制性等距条件与稀疏向量恢复的关系：对于\(k-\)稀疏向量的恢复，需要考察测量矩阵的\(2k-\)限制性等距条件。若测量矩阵满足\(2k-\)限制性等距条件，则当\(k-\)稀疏向量\(\mathbf{x}\)和\(\mathbf{x}^{'}\)满足\(\| \mathbf{x} - \mathbf{x}^{'} \|_{2}^{2}{\;\neq\;}0\)时，测量矩阵映射后的结果之差满足\(\| \mathbf{A}(\mathbf{x} - \mathbf{x}^{'}) \|_{2}^{2}{\;\neq\;}0\)。即对于不同的\(k-\)稀疏向量，满足\(2k-\)限制性等距条件的测量矩阵可以将它们映射到不同的测量结果上，是稀疏信号无歧义恢复的前提。
2. 限制性等距条件与矩阵Spark的关系：若测量矩阵满足\(k-\)限制性等距条件，说明矩阵中任意\(k\)列近似正交，即线性无关。此时，测量矩阵的Spark参数至少为\(k+1\)。