矩阵的Spark和Rank

矩阵Spark的概念在纠错码和压缩感知等通信理论中广泛应用，并为线性方程组解的最大稀疏性提供了一个简单的准则，其与矩阵Rank的概念相近，容易混淆。

Spark

1. 定义：若矩阵\(\mathbf{A}=[ \mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, {\dots}, \mathbf{a}_{n} ]{\;\in\;}\mathbb{C}^{m{\times}n}\)满足\(\mathrm{spark}(\mathbf{A})=k\)，则存在最小整数\(k\)，使得存在一个从矩阵\(\mathbf{A}\)中选取\(k\)列的向量集合\(\{ \mathbf{a}_{i_{1}}, \mathbf{a}_{i_{2}}, {\dots}, \mathbf{a}_{i_{k}} \}\)线性相关。
2. 数学语言表述：
   \[\mathrm{spark}(\mathbf{A})=\min_{\mathbf{d}{\neq}\mathbf{0}} \| \mathbf{d} \|_{0}, \mathrm{s.t.} \mathbf{A}\mathbf{d} = \mathbf{0} \]

Rank

1. 定义：若矩阵\(\mathbf{A}=[ \mathbf{a}_{1}, \mathbf{a}_{2}, {\dots}, \mathbf{a}_{n} ]{\;\in\;}\mathbb{C}^{m{\times}n}\)满足\(\mathrm{rank}(\mathbf{A})=k\)，则存在最大整数\(k\)，使得存在一个从矩阵\(\mathbf{A}\)中选取\(k\)列的向量集合\(\{ \mathbf{a}_{i_{1}}, \mathbf{a}_{i_{2}}, {\dots}, \mathbf{a}_{i_{k}} \}\)线性无关。
2. 其它表述：矩阵\(\mathbf{A}\)的秩是由其列张成的向量空间的维数。

Spark和Rank的关系

易错辨析

在矩阵Spark和Rank的定义中，均仅表明了“存在性”而非“任意性”，二者的“存在性”互不影响。因此，矩阵Spark和Rank在一般情况下并不存在确定性等式关系。

1. 例：若在矩阵\(\mathbf{A}\)中任选一列修改为为另一列的倍数，那么将导致\(\mathrm{spark}(\mathbf{A})=2\)，但这一现象并不影响其它列的线性无关性质。
2. 例：矩阵\(\mathbf{A}_{1}, \mathbf{A}_{2}, \mathbf{A}_{3}\)的Rank参数均为\(3\)，但Spark参数分别为\(2,3,4\)。
   \[\mathbf{A}_{1}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}, \mathbf{A}_{2}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ \end{bmatrix}, \mathbf{A}_{3}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \]

定理

虽然矩阵Spark和Rank在一般情况下并不存在确定性等式关系，但仍有下列关系成立：

1. （不等式关系）对于矩阵\(\mathbf{A}{\;\in\;}\mathbb{C}^{m{\times}n}\)，\(\mathrm{spark}(\mathbf{A}){\;\leq\;}\mathrm{rank}(\mathbf{A})+1\)：若矩阵\(\mathbf{\mathbf{A}}\)满足\(\mathrm{rank}(\mathbf{A})=k\)，则根据定义，矩阵\(\mathbf{A}\)中一定存在\(k+1\)列线性相关的向量集合，即\(\mathrm{spark}(\mathbf{A}){\;\leq\;}k+1\)。
2. （推论）对于矩阵\(\mathbf{A}{\;\in\;}\mathbb{C}^{m{\times}n}\)，当\(\mathrm{spark}(\mathbf{A})=m+1\)时，有\(\mathrm{rank}(\mathbf{A})=m\)成立：当\(\mathrm{spark}(\mathbf{A})=m+1\)时，根据上述不等式关系和矩阵秩的性质，有
   \[m=\mathrm{spark}(\mathbf{A})-1{\;\leq\;}\mathrm{rank}(\mathbf{A}){\;\leq\;}\min\{m,n\}{\;\leq\;}m \]
   即\(\mathrm{rank}(\mathbf{A})=m\)成立。