一道关于斐波那契序列的题
大致意思是定义 $f_0=f_1=1$，$f_i=f_{i-1}+f_{i-2}$。
求$\Sigma^n_{i=0}f_if_{n-i}$。
令$F_n=\Sigma^n_{i=0}f_if_{n-i}$。
$F_n-F_{n-1}=\Sigma^n_{i=0}f_if_{n-i}-\Sigma^{n-1}_{i=0}f_if_{n-1-i}$
$=f_0f_n+\Sigma^{n}_{i=1}f_if_{n-i}-\Sigma^{n-1}_{i=0}f_if_{n-1-i}$
$=f_0f_n+\Sigma^{n-1}_{i=0}f_if_{n-i}-\Sigma^{n-1}_{i=0}f_if_{n-1-i}$
=fn+Σi=0n−1fi(fn−i−fn−1−i)=f_n+\Sigma^{n-1}_{i=0}f_i(f_{n-i}-f_{n-1-i})=fn+Σi=0n−1fi(fn−i−fn−1−i)
=fn+Σi=0n−1fi(fn−i−2)=f_n+\Sigma^{n-1}_{i=0}f_i(f_{n-i-2})=fn+Σi=0n−1fi(fn−i−2)
=fn+Fn−2=f_n+F_{n-2}=fn+Fn−2
所以，Fn=Fn−1+Fn−2+fnF_n=F_{n-1}+F_{n-2}+f_nFn=Fn−1+Fn−2+fn。
于是，Fn−1=Fn−2+Fn−3+fnF_{n-1}=F_{n-2}+F_{n-3}+f_nFn−1=Fn−2+Fn−3+fn，Fn−2=Fn−3+Fn−4+fnF_{n-2}=F_{n-3}+F_{n-4}+f_nFn−2=Fn−3+Fn−4+fn，二式三式相加并与一式作差，可消去 fnf_nfn。得到 FFF 的递推式：Fn=2Fn−1+Fn−2−2Fn−3−Fn−4F_n=2F_{n-1}+F_{n-2}-2F_{n-3}-F_{n-4}Fn=2Fn−1+Fn−2−2Fn−3−Fn−4，用矩阵加速求即可。
转移矩阵为：
{{2,1,0,0},
{1,0,1,0},
{-2,0,0,1},
{-1,0,0,0}}
初始化：F0=1,F1=2,F2=5,F3=10F_0=1, F_1=2, F_2=5, F_3=10F0=1,F1=2,F2=5,F3=10。
