线性基学习笔记

线性基，有很好的的性质且能表示原序列所有异或值的一列数。

https://oi-wiki.org/math/basis/

 

https://blog.csdn.net/a_forever_dream/article/details/83654397

这篇笔记为了方便，d[i]就对应第i位，可能和其他参考文章不同，不同的以这篇笔记为准，笔记本身也有注释、勘误的作用。

性质1证明相关：

  有插入过程可知，线性基内每个元素的最高位都不同。因为1位上，最多只有一次d[i]=x。若线性基内的元素可以通过异或得到x，那么x通过插入的方式也一定能被异或成0（x最高位的1只有一个线性基内的元素能消，往下同理）。

求最小值（推荐再看这篇https://blog.nowcoder.net/n/4bd068670bda4f8e94c1e1f48a2f87a3?from=nowcoder_improve）：

  最小值非零时若干d[i]异或得到的值，结果最高位必为这些d[i]中的最高位，那么最小的d[i]无论异或那个d[j]，最高位数都会变高，故最小的d[i]即为最小值。

求k小值：

  每位d[i]都异或其他d[j]到最小（即在第j位为1时就异或有值的d[j]），这样也使得其他d[j]有值的第j位为零；这时d[i]想变大就要异或其他d[j]（若j>i时，可等到i’=j，j’=i时再看，一样的），且变大幅度和d[j]的最高位（即第j位）有关，异或d[0]的变大幅度最小，同时d[0]~d[max log]也是从小到大的排序，这么一来异或得到的数值大小正好和k二进制下的所有1对应的大小次序为1的位数的d异或起来得到的值对起来了。还不明白可以从小规模的模拟看看（设tmp[i]为第i大的d[j]），k=1时，ans=tmp[1]；k=2时，比tmp[1]代表的d更大的最小值为tmp[2]；tmp[2]变大一点点，即异或tmp[1]，得到的ans即为k=3（二进制下：1 1）的答案……