线段树内存到底该开多大？——浅谈线段树占用内存（附证明）

结论：对于一个维护序列长度为n的线段树，用堆结构存储的话，数组大小应开4*n，这样，在n为正整数的所有情况下内存都够用，且在最极限的情况（n=(2的整数次幂 加上一个非常小的数)）下，内存刚好够用，数组下标刚好比线段树数组中会使用到的最大下标（4n-2）多1。

证明（本文对数的底数默认为2）：

　　前置数学知识：高中数学必修一对数相关，二叉树的一些基本性质

　　当n为2的正整数次幂时，设n=2^k，此时线段树正好是一棵叶子数为n的满二叉树。若n更大一些，但还没超过2^（k+1）时，此时线段树的内存大小要按照n=2^（k+1）的情况开。

　　这启示我们，当2^k <n<=2^(k+1)，即k<log n<=k+1时，线段数所开大小与叶子数为2^（k+1）的满二叉树大小相同，而该满二叉树的节点数为siz=2^(k+2)-1。

　　由k<log n<=k+1可得k+1=ceil（log n） ， ceil（）为向上取整函数，则:

　　　　2^(k+2)-1=2^（ceil（log n）+1）-1

　　　　　　　　=2^（ceil（log n+1））-1

　　　　　　　　=2^（ceil（log (n*2)））-1   

　　因为　　　log (n*2)　<=ceil（log (n*2) ) < log (n*2)+1=log (n*4)

　　所以   　　2n-1　　<=　　siz  <     4n-1

　　结论得证。