欧拉函数和线性筛 学习笔记

参考资料：

oiwik欧拉函数https://oi-wiki.org/math/number-theory/euler/

　　筛法https://oi-wiki.org/math/number-theory/sieve/

　　筛法求欧拉函数https://oi-wiki.org/math/number-theory/sieve/#_8

 复习时看oiwiki就很好

欧拉函数 φ（n）（推荐看oiwiki）

　　　　4条性质：2条自身，1条求自己，1条求n　　　

　　　　sqrt n求欧拉函数：

// C++ Version
int euler_phi(int n) {
  int ans = n;
  for (int i = 2; i * i <= n; i++)//注意不要从1开始否则会死循环，
    if (n % i == 0) {
      ans = ans / i * (i - 1);
      while (n % i == 0) n /= i;
    }
  if (n > 1) ans = ans / n * (n - 1);//不要漏
  return ans;
}

 　　　　例题：P2303 [SDOI2012] Longge 的问题

　　　　　　题解：想到对于n的一个因数x，会有多少对答案的贡献，即1~n有多少数y，满足gcd（y,n）=x，设t(x)为因数x对答案的贡献，即，令j=i/x，则原式相当于， 则答案为。因数可以O（sqrt n）枚举出，φ（x）也可以O（sqrt n）算出，故时间复杂度为O（因数个数 *  sqrt n） 

#include<iostream>
#include<cstdio>

using namespace std;

long long n,ans;

inline int phi(long long x)
{
    long long ret=x;
    for(long long i=2;i*i<=x;++i)
        if(x%i==0)
        {
            ret=ret/i*(i-1);
            while(x%i==0)
                x/=i;
        }
    if(x>1)
        ret=ret/x*(x-1);
    return ret;
}

int main()
{
    scanf("%lld",&n);
    long long i;
    for(i=1;i*i<n;++i)//完全平方数特殊处理 防重
        if(n%i==0)
            ans+=i*phi(n/i)+n/i*phi(i);
    if(i*i==n)
        ans+=i*phi(i);
    cout<<ans;
    return 0;
}

　　　　　　（复杂的式子就是要写下来化简才好嘛）

　　　　2、计算一列数1~n的欧拉函数：

　　　　　　O(n)线性筛法（见下）

 

线性筛：

　　　　核心：用每个数尝试以最小质因数的根据筛掉合数。每个合数只会被最小质因数筛掉一次。

　　　　　　对当前i用目前的质数筛，直到当前质数包含在i内后筛完停止。否则再继续筛的话，筛到的合数的最小质因数就不是枚举的质数，而是i内的那个小质因数了。由于目前的质数是扫进来的，故一定小于i，且i的质因数都包含在目前的质数内。复杂度为O(n)。

　　　　核心代码：

void GetPrime(int n)//筛到n
{
    memset(isPrime, 1, sizeof(isPrime));
    //以“每个数都是素数”为初始状态，逐个删去
    isPrime[1] = 0;//1不是素数
    for(int i = 2; i <= n; i++)
    {
        if(isPrime[i])
            Prime[++cnt] = i;
        for(int j = 1; j <= cnt && i*Prime[j] <= n/*不超上限*/; j++) 
        {
            isPrime[i*Prime[j]] = 0;
            if(i % Prime[j] == 0)
                break;
        }
    }
}

　　

　　　　筛法求欧拉函数：i和p根据整除关系分两类。

　　

 

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