浅谈 Catalan number——卡特兰数
一、定义:
卡特兰数是一组满足下面递推关系的数列:
二、变形:
首先,设h(n)为Catalan数的第n+1项,令h(0)=1,h(1)=1,Catalan数满足递推式:
h(n)= h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2) + ... + h(n-1)*h(0) (n>=2)
可化简为1阶递推关系: h(n)=(4n-2)/(n+1)*h(n-1) (n>=2)
想看证明的点这里:https://blog.csdn.net/guoyangfan_/article/details/82888872
通项公式: 1 、h(n)=C(2n,n)/(n+1)
2、 h(n)=C(2n,n)-C(2n,n-1)
三、应用模型:
1、定义型:
求凸n边形的三角形划分方案数:
求有N个节点的二叉树的形态个数:
设f(n)表示有n个节点的二叉树的形态的个数,f(N)即为答案。
首先必然有一个根节点。设根节点左边有k个节点,则右边有N-k-1个节点,此时f(N)=f(k)*f(N-k-1)。由于k可以取到0~N-1,
由加法原理得f(N)=f(0)*f(N-1)+f(1)*f(N-2)+...+f(N-1)*f(0),符合卡特兰数的定义形式,故f(N)即为卡特兰数的hN项。
2、通项公式型:
上题的各种变式:
找零钱(找一半):有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票,另外n人只有10元钞票,剧院无其它钞票,问有多少中方法使得只要有10元的人买票,售票处就有5元的钞票找零?
球盒问题:球分两种颜色,黑色和白色分别各有n只,盒子数量和球的个数相同,每个盒子里面只能放一只球,并且必须满足如下限制,即每一个白球必须和一只黑球配对,有多少种情况?
同列事件可视为等价,且在题目要求中事件1的次数/大小需要始终大于事件2。像这样的题都可以用卡特兰数的通项公式解。
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