洛谷P1072 Hankson 的趣味题（题解）
https://www.luogu.org/problemnew/show/P1072（题目传送）
数学的推理在编程的体现越来越明显了。（本人嘀咕）
首先，我们知道这两个等式： (a0,x)=a1,[b0,x]=b1(a0,x)=a1,[b0,x]=b1
于是，我们可以设： x=a1*p,b1=x*tx=a1∗p,b1=x∗t
于是有： a1*p*t=b1a1∗p∗t=b1
所以我们令： b1/a1=sb1/a1=s
则： p*t=sp∗t=s
即： t=s/pt=s/p
又由最大公约数与最小公倍数的定义与性质可得：
(a0/a1,p)=1,(b1/b0,t)=1(a0/a1,p)=1,(b1/b0,t)=1
所以我们令： a0/a1=m,b1/b0=na0/a1=m,b1/b0=n
则有： (p,m)=1,(s/p,n)=1(p,m)=1,(s/p,n)=1
这就是第一个结论，我们称其为结论一。事实上，我们其实已经可以由结论一整理出可以AC的方法，即用sqrt(s)的复杂度枚举s的因数，然后将每个因数放到结论一中，看看是否成立，再统计所有符合结论一的因数的个数，然后输出即可。这种算法的复杂度是：O(sqrt(s)*log(s)*n)。这样其实也能卡过数据，但是还是没有达到理论上的通过。所以我们还要继续优化。
我们考虑(s/p,n)=1。如果s/p与n有相同质因数，则无法使(s/p,n)=1成立。于是，为了使(s/p,n)=1成立，我们可以将s与n所有相同的质因数从s中去掉（不动s/p的原因是s/p是s的因变量，改变无意义），得到剩余的数l，若(s/p,n)=1成立，s/p就必须是l的约数。
我们继续考虑(p,m)=1。因为s/p是l的约数，那么p就一定可以表示为这样的形式：
p=(s/l)*r（因为s/p*r=p,r属于N*）
即：p一定是s/l的倍数（因为s/p是l的约数），r也是l的约数。于是就又有：
r|l,且(r,m)=1
这就是第二个结论，我们称其为结论二。而解决结论二的方法便很明显了。我们可以用与解决结论一相似的方法，将l与m所有相同的质因数从l中去掉，得到剩余的数q。那么所有使结论二成立的r都是q的因数了。然后，我们可以用sqrt(q)的复杂度枚举q的所有因数，输出q的因数个数就行了。这样，复杂度便降到了：O((sqrt(s)+log(s))*n)，从理论来说也不会超时了。
还有一点需要注意，那就是特判没有符合要求的x的情况。这种情况出现只有四种可能：
1、s不为整数
2、m不为整数
3、n不为整数
4、(s/l,m)≠1，即因为p是s/l的倍数，所以无论r取何值，都会有(p,m)≠1
加上这四个特判，这道题便做完了。（来个总结公式：结论成立=筛去必要条件的不足+必要条件，这也算是一种思路吧）
AC代码：
1 #include<cstdio> 2 #include<iostream> 3 #include<cmath> 4 #include<algorithm> 5 #include<cstring> 6 #include<string> 7 using namespace std; 8 int ssqrt; 9 int cf(int a,int b)//去掉a中与b共有的质因数。思想：将b质因数分解，同时将a中与b共有的质因数去掉。 10 { 11 ssqrt=sqrt(b); 12 for(int i=2;i<=ssqrt;i++)//sqrt(b)复杂度质因数分解b 13 { 14 if(b%i==0)while(a%i==0)a/=i;//去掉a中与b共有的质因数，将a分解 15 while(b%i==0)b/=i;//将b质因数分解 16 } 17 if(b!=1)while(a%b==0)a/=b;//注意：此时b可能还不是1，因为b可能有比sqrt(b)更大的质因数，但至多只有一个，且它的次幂至多是1。所以如果b不是1，那就只能是一个质数。于是此时继续分解a。 18 return a;//返回剩下的a 19 } 20 int gcd(int a,int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}//辗转相除求最大公约数 21 int main() 22 { 23 int a0,a1,b0,b1; 24 int gs; 25 int m,n,s,l,q; 26 scanf("%d",&gs); 27 int cnt; 28 while(gs--) 29 { 30 scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1); 31 if(a0%a1|b1%b0|b1%a1){printf("0\n");continue;}//如果m、n、s中有小数，则直接输出0。这里的代码用到了一些位运算 32 m=a0/a1,n=b1/b0,s=b1/a1;l=cf(s,n);//求出m、n、s，然后求出l 33 if(gcd(max(s/l,m),min(s/l,m))!=1){printf("0\n");continue;}//如果不互质，则直接输出0 34 q=cf(l,m);cnt=0,ssqrt=sqrt(q);//求出q，开始枚举q的因数，求出q的因数个数 35 for(int i=1;i<=ssqrt;i++)if(q%i==0)cnt+=i==q/i?1:2;//这里注意，如果i==q/i，则只加1，否则加2 36 printf("%d\n",cnt);//输出 37 } 38 return 0;
另附应用结论一的代码（好像更快。。。估计上面代码cf函数拖时间了吧）：
1 #include<cstdio> 2 using namespace std; 3 int gcd(int a,int b) { 4 return b==0?a:gcd(b,a%b); 5 } 6 int main() { 7 int T; 8 scanf("%d",&T); 9 while(T--) { 10 int a0,a1,b0,b1; 11 scanf("%d%d%d%d",&a0,&a1,&b0,&b1); 12 int p=a0/a1,q=b1/b0,ans=0; 13 for(int x=1;x*x<=b1;x++) //精华 14 if(b1%x==0){ 15 if(x%a1==0&&gcd(x/a1,p)==1&&gcd(q,b1/x)==1) ans++; 16 int y=b1/x;//得到另一个因子 17 if(x==y) continue; 18 if(y%a1==0&&gcd(y/a1,p)==1&&gcd(q,b1/y)==1) ans++; 19 } 20 printf("%d\n",ans); 21 } 22 return 0; 23 }
做题在纸上推理推理写写思路，更清晰地解题
给看到这里的OIer一个小干货吧（虽然很可能知道，但也是试了好久才总结出来的啊）：cmd的窗口默认保存297行，宽80字符，高25字符
