题解-洛谷P1020P导弹拦截（nlogn求单调序列长度）

https://www.luogu.org/problemnew/show/P1020

（原题链接）

　　第一问就是求最长不上升子序列的长度，自然就想到了c++一本通里动态规划里O（n^2）的算法，但题目明确说明“为了让大家更好地测试n方算法，本题开启spj，n方100分，nlogn200分每点两问，按问给分”，自然是要写O(nlogn)的算法才能AC哦。

　　对于这种nlogn的算法，只能求出长度，不能求出具体的序列。这种算法实现过程如下：

　　我们定义len为到目前为止最长不上升子序列的长度，d[l]表示此长度为l的不上升子序列的末尾数据中最小的那个，a[i]为输入的第i个结果。先使d[1]=a1，len=1。我们从i=2(i<=n)开始看：

　　如果a[i]<=d[len]，那么使d[++len]=a[i]，即扩充一下目前的最长不上升子序列；

　　否则，a[i]>d[len]，就在数组d中从前往后找到第一个<a[i]的元素d[j]，此时d[i1,2,...,j-1]都>=a[i]，那么它完全可以接上d[j-1]然后生成一个长度为j的不上升子序列，而且这个子序列比当前的d[j]这个子序列更有潜力（因为这个数比d[j]大），所以就替换掉它就行了。

　　至于第一个大于它的怎么找……STL中的 upper_bound（x,x+n,num,greater<int>()），每次复杂度logn,在不严格单调增加的int型x数组从头找到下标n-1,若找到第一个比num小的数，则返回它的地址，否则返回下标为n的数的地址（地址-数组名=数的下标）。别忘了头文件为<algorithm>。更多用法详见https://blog.csdn.net/qq_40160605/article/details/80150252

　　第二问可由Dilworth定理（大致意思是一个数列分成不上升（或不下降）子序列的最小数=该数列的最长上升（或下降）子序列的长度）知该问是求最长上升子序列

的长度。具体实现过程与第一问类似只是将第一问实现过程中加粗的4个不等号分别改成“>,<=,>,<=”就行了，思路与第一问一模一样。

终于上代码了：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
int a[100001],d[100001];
int n;
void bss();
void ss();
int main()
{
    char ch=' ';
    while(ch==' ')
    {
        scanf("%d",&a[++n]);
        ch=getchar();
    }
    bss();//求最大不上升序列长度的函数
    ss();//求最大上升序列的长度的函数
    return 0;
} 
void bss()
{
    int len=1;
    d[len]=a[1];
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(a[i]<=d[len])
        {
            d[++len]=a[i];
        }
        else
        {
            d[upper_bound(d+1,d+len+1,a[i],greater<int>())-d]=a[i];
        }
    }
    cout<<len<<endl;
}
void ss()
{
    int len=1;
    d[len]=a[1];
    for(int i=2;i<=n;++i)
    {
        if(a[i]>d[len])
        {
            d[++len]=a[i];
        }
        else
        {
            if(a[i]!=d[len])
            {
            d[lower_bound(d+1,d+len+1,a[i])-d]=a[i];
            }
        }
    }
    cout<<len;
}//代码已AC

加油吧！

2019.2

 

后记理解：对于nlogn优化的 dp数组，可以理解成：dp[j]是当前长度为j的所有上升子序列中最小的末尾元素。对于当前的新元素a[i]，它的最优情况肯定是接到尽量长的且末尾元素（dp值）小于它的上升子序列的后面（若dp[j]>a[i]，那么a[i]一定不能接在长度为j的子序列的后面了，毕竟最小的末尾都比他大了。），使得第一个大于a[i]的dp[j]的值修改为a[i]（别忘了a[i]接到后面后，那个子序列的长度会加一）。由于没有后效性，且dp数组中的值都是末尾为当时的a[i]时的最优情况，故最终答案就是dp数组的长度，是所有a都当末尾的情况中的最优情况。