1257: [CQOI2007]余数之和
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Description
给出正整数n和k,计算j(n, k)=k mod 1 + k mod 2 + k mod 3 + … + k mod n的值
其中k mod i表示k除以i的余数。
例如j(5, 3)=3 mod 1 + 3 mod 2 + 3 mod 3 + 3 mod 4 + 3 mod 5=0+1+0+3+3=7
Input
输入仅一行,包含两个整数n, k。
1<=n ,k<=10^9
Output
输出仅一行,即j(n, k)。
Sample Input
5 3
Sample Output
7
非常巧妙的数论题
首先可以推出:k%i=k-(int)(k/i)*i
根据归纳法,可以得出在一段区间内k/i的值不变
设w=(int)(k/i),而区间的右边界r=k/w
于是利用等差数列求和公式,得出ans=(r-(i-1))*k-w*(r-i+1)*(r+i)/2
1 #include<iostream> 2 #include<cstdio> 3 using namespace std; 4 5 #define LL long long 6 7 LL n,k,w,r,ans; 8 9 int main() 10 { 11 scanf("%lld%lld",&n,&k); 12 if(n>k) 13 { 14 ans=(n-k)*k; 15 n=k; 16 } 17 for(int i=1;i<=n;i=r+1) 18 { 19 w=k/i;r=k/w; 20 if(r>n) r=n; 21 ans+=(r-i+1)*k-w*(r-i+1)*(r+i)/2; 22 } 23 printf("%lld\n",ans); 24 return 0; 25 }
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2016-09-23 NOIP2010 引水入城