1096: [ZJOI2007]仓库建设

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MB
Submit: 6188  Solved: 2800
[Submit][Status][Discuss]

Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到
以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含三个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

 

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。 

 

bzoj的数据似乎Xi, Pi, Ci需要LL

 

设：a[i]表示p[i]前缀和

　　b[i]表示x[i]*p[i]前缀和

通过观察可以写出DP方程：

　　f[i]=min{f[j]+(a[i]-a[j])*x[i]-(b[i]-b[j])+c[i]}

这里就涉及到斜率优化的问题，设k<j<i，如果j比k更优则取j

而j比k更优的情况为：

\[\frac{f[j]-f[k]+b[j]-b[k]}{a[j]-a[k]}<x[i]\]

因此我们在j处设立一个仓库

 

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;

#define LL long long
const int MAXN=1000005;

int n,l,r;
LL x[MAXN],p[MAXN],c[MAXN];
LL f[MAXN],a[MAXN],b[MAXN];
int q[MAXN];

double slope(int i,int j)
{
    return double(f[j]-f[i]+b[j]-b[i])/double(a[j]-a[i]);
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%lld%lld%lld",&x[i],&p[i],&c[i]);
        a[i]=a[i-1]+p[i];
        b[i]=b[i-1]+x[i]*p[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        while(l<r&&slope(q[l],q[l+1])<x[i]) l++;
        int t=q[l];
        f[i]=f[t]+(a[i]-a[t])*x[i]-(b[i]-b[t])+c[i];
        while(l<r&&slope(q[r-1],q[r])>slope(q[r],i)) r--;
        q[++r]=i;
    }
    printf("%lld",f[n]);
    return 0;
}