1019: [SHOI2008]汉诺塔

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Description

　　汉诺塔由三根柱子（分别用A B C表示）和n个大小互不相同的空心盘子组成。一开始n个盘子都摞在柱子A上，
大的在下面，小的在上面，形成了一个塔状的锥形体。

 

　　对汉诺塔的一次合法的操作是指：从一根柱子的最上层拿一个盘子放到另一根柱子的最上层，同时要保证被移
动的盘子一定放在比它更大的盘子上面（如果移动到空柱子上就不需要满足这个要求）。我们可以用两个字母来描
述一次操作：第一个字母代表起始柱子，第二个字母代表目标柱子。例如，AB就是把柱子A最上面的那个盘子移到
柱子B。汉诺塔的游戏目标是将所有的盘子从柱子A移动到柱子B或柱子C上面。有一种非常简洁而经典的策略可以帮
助我们完成这个游戏。首先，在任何操作执行之前，我们以任意的次序为六种操作（AB、AC、BA、BC、CA和CB）
赋予不同的优先级，然后，我们总是选择符合以下两个条件的操作来移动盘子，直到所有的盘子都从柱子A移动到
另一根柱子：（1）这种操作是所有合法操作中优先级最高的；（2）这种操作所要移动的盘子不是上一次操作所移
动的那个盘子。可以证明，上述策略一定能完成汉诺塔游戏。现在你的任务就是假设给定了每种操作的优先级，计
算按照上述策略操作汉诺塔移动所需要的步骤数。

Input

　　输入有两行。第一行为一个整数n（1≤n≤30），代表盘子的个数。第二行是一串大写的ABC字符，代表六种操
作的优先级，靠前的操作具有较高的优先级。每种操作都由一个空格隔开。

Output

　　只需输出一个数，这个数表示移动的次数。我们保证答案不会超过10的18次方。

Sample Input

3
AB BC CA BA CB AC

Sample Output

7

 

可以类比normal汉诺塔得出递归规律f[n]=k×f[n-1]+b

并由此得到两个方程：

　　k×f[1]+b=f[2]

　　k×f[2]+b=f[3]

解得：

\[k=\frac{f[3]-f[2]}{f[2]-f[1]}\]

 

\[b=f[3]-f[2]*k\]

 

因此我们只需要搜索出f[1],f[2],f[3]，就可以得出答案了，而f[1]=1是显而易见的结论

这里巧妙利用了stack的特性（这算是投机取巧吧（大雾）

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<stack>
using namespace std;

#define LL long long

int n,x[10],y[10];
char ch[10];
LL k,b,f[50];

int dfs(int t)
{
    stack<int> A[3];
    int last=-1,ans=0;
    for(int i=t;i>=1;i--) A[0].push(i);
    while(A[1].size()!=t&&A[2].size()!=t)
        for(int i=1;i<=6;i++)
            if(A[x[i]].size()>0&&last!=x[i])
            {
                int a=A[x[i]].top(),b=5;
                if(A[y[i]].size()>0) b=A[y[i]].top();
                if(a<b)
                {
                    A[x[i]].pop();A[y[i]].push(a);
                    last=y[i];
                    ans++;
                    break;
                }
            }
    return ans;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=6;i++)
    {
        cin>>ch;
        x[i]=ch[0]-'A';
        y[i]=ch[1]-'A';
    }
    f[1]=1;f[2]=dfs(2);f[3]=dfs(3);
    k=(f[3]-f[2])/(f[2]-f[1]);
    b=f[3]-f[2]*k;
    for(int i=4;i<=n;i++) f[i]=f[i-1]*k+b;
    cout<<f[n]<<endl;
    return 0;
}