1010: [HNOI2008]玩具装箱toy
Description
P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压
缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过
压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容
器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一
个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，
如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容
器，甚至超过L。但他希望费用最小.
Input
第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7
Output
输出最小费用
Sample Input
3
4
2
1
4
Sample Output
最水的斜率优化DP（我会告诉你我写了一天吗。。。还是要提高姿势水平啊
朴素DP方程：
\[F[i]=F[j]+min\left \{(i-j-1+\sum^{i}_{j+1} C_{k}-l)^{2}\right \}\]
s[i]表示玩具长度前缀和（因此S[i]单调递增）
\[\sum ^{i}_{j+1} C_{k}=s[i]-s[j]\]
\[F[i]=F[j]+min\left \{(i-j-1+s[i]-s[j]-l)^{2}\right \}\]
移位
\[F[i]=F[j]+min\left \{((s[i]+i)-(s[j]+j)-(l+1))^{2}\right \}\]
为了表述方便
设S[i]=s[i]+i
S[j]=s[j]+j
L=l+1
\[F[i]=F[j]+min\left \{(S[i]-S[j]-L)^{2}\right \}\]
直接DP,时间复杂度为O(n2)，50000*50000毫无疑问TLE
接下来考虑斜率，即min{(S[i]-S[j]-L)2}，i为已知量，j为什么的时候min最小
设A优于B
\[F[A]+(S[i]-S[A]-L)^{2}<F[B]+(S[i]-S[B]-L)^{2}\]
展开，消去相同项
\[F[A]+S[A]^{2}-2S[A]S[i]+2S[A]L<F[B]+S[B]^{2}-2S[B]S[i]+2S[B]L\]
移位
\[S[i]>\frac{S[A]^{2}-S[B]^{2}+2L(S[A]-S[B])+F[A]-F[B]}{2(S[A]-S[B])}\]
设：
\[x_{A}=2S[A]\]
\[x_{B}=2S[B]\]
\[y_{A}=S[A]^{2}+2LS[A]+F[A]\]
\[y_{B}=S[B]^{2}+2LS[B]+F[B]\]
则：
\[S[i]>\frac{y_{A}-y_{B}}{x_{A}-x_{B}}\]
附单调性证明：
S[i],F[i]都是单调递增
因此A>B时，不等式成立
如果A<B，则应是：
\[S[i]<\frac{S[A]^{2}-S[B]^{2}+2L(S[A]-S[B])+F[A]-F[B]}{2(S[A]-S[B])}\]
显然只有A>B时，解更优
是不是很像斜率公式（也许还可以求个导
接下来只需要维护一个队列
每枚举到一个i，维护一下队列
例如，我们枚举到D时，假设B是最优点：
cmp(C,B)>S[i]，因此C更不优
那么F[D]=F[B]+(D-B-1+S[D]-S[B]-L)2
枚举到E时，由于S[i]增大了（S[i]单调递增），这时假设cmp(C,B)<S[i]了，而cmp(D,C)>S[i]，因此，这时C优于B，C为E的最优点
这时候就有个问题了，为什么原先的最优点B，在枚举到新的点E时，更优解一定在B后，而不是B前呢？也可能cmp(A,B)<S[i]啊？
见上附证明
1 #define LL long long 2 #define sqr(x) ((x)*(x)) 3 4 #include<iostream> 5 #include<cstdio> 6 #include<cmath> 7 using namespace std; 8 9 const int MAXN=50000+10; 10 11 int N,L; 12 int Q[MAXN]; 13 int l,r; 14 LL S[MAXN],F[MAXN]; 15 16 double cmp(int x,int y) 17 { 18 return (double)(sqr(S[x])-sqr(S[y])+2*L*(S[x]-S[y])+F[x]-F[y])/(2*(S[x]-S[y])); 19 } 20 21 int main() 22 { 23 scanf("%d %d",&N,&L); 24 L++; 25 for(int i=1;i<=N;i++) 26 { 27 int x; 28 scanf("%d",&x); 29 S[i]=S[i-1]+x; 30 } 31 for(int i=1;i<=N;i++) 32 S[i]+=i; 33 l=1;r=0;r++; 34 for(int i=1;i<=N;i++) 35 { 36 while(l<r&&cmp(Q[l+1],Q[l])<S[i]) l++; 37 F[i]=F[Q[l]]+sqr(S[i]-S[Q[l]]-L); 38 while(l<r&&cmp(i,Q[r])<cmp(Q[r],Q[r-1])) r--; 39 Q[++r]=i; 40 } 41 cout<<F[N]<<endl; 42 }
