[bzoj]2038 [2009国家集训队]小Z的袜子(hose)

Description

作为一个生活散漫的人，小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天，小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程，于是他决定听天由命……
具体来说，小Z把这N只袜子从1到N编号，然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双，甚至不在意两只袜子是否一左一右，他却很在意袜子的颜色，毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z，他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然，小Z希望这个概率尽量高，所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。

Input

输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量，M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci，其中Ci表示第i只袜子的颜色，相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行，每行两个正整数L，R表示一个询问。

Output

包含M行，对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1，否则输出的A/B必须为最简分数。（详见样例）

Sample Input

6 4
1 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6

Sample Output

2/5
0/1
1/1
4/15
【样例解释】
询问1：共C(5,2)=10种可能，其中抽出两个2有1种可能，抽出两个3有3种可能，概率为(1+3)/10=4/10=2/5。
询问2：共C(3,2)=3种可能，无法抽到颜色相同的袜子，概率为0/3=0/1。
询问3：共C(3,2)=3种可能，均为抽出两个3，概率为3/3=1/1。
注：上述C(a, b)表示组合数，组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
【数据规模和约定】
30%的数据中 N,M ≤ 5000；
60%的数据中 N,M ≤ 25000；
100%的数据中 N,M ≤ 50000，1 ≤ L < R ≤ N，Ci ≤ N。

 

这题数据范围不太正常啊，调了两倍的数组，加上全longlong才AC

 

莫队算法

莫涛前辈提出的一种对不修改区间的查询类算法，看起来好像是暴力+分块法，虽然是暴力法，但用快速排序可以降低时间复杂度好几个等级

 

这里有两篇详细的讲解

疯狂的橡树：http://blog.csdn.net/bossup/article/details/39236275

huzecong：http://blog.csdn.net/huzecong/article/details/8576908

 

对于L，R的查询，设其中颜色为x,y,z... 袜子的个数为a,b,c...

显然

　　R-L+1=a+b+c+....

即答案为：

　　C(a,2)+C(b,2)+C(c,2)+.../C(R-L+1,2)

展开化简，两边同时乘以2

　　a*(a-1)+b*(b-1)+c*(c-1)+... / (R-L+1)(R-L)

再次展开

　　a²+b²+c²+....(a+b+c+...) / (R-L+1)(R-L)

显然

　　a²+b²+c²+....(R-L+1) / (R-L+1)(R-L)

 

update()函数用于更新在pl,pr区间时num[i]的个数，以及ans相同颜色的袜子数

相比原代码做了个小优化

 

　　ans-=num[col[x]]*num[col[x]];
　　num[col[x]]+=d;
　　ans+=num[col[x]]*num[col[x]];

 

原代码先删除旧的num[i]²在加上新的num[i]²
我化简成ans=2*num[i]*d+d²之后num[i]+=d;

简单的完全平方化简，就不用我写了吧

 

#define LL long long

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;

const LL MAXN=100000+10;

struct qnode//储存提问
{
    LL l,r,id;
}qu[MAXN];

LL n,m,block;//block储存分块的个数
LL c[MAXN],pos[MAXN];
LL ans=0;//表示共有多少对相同颜色的袜子
LL num[MAXN],up[MAXN],dw[MAXN];//num[i]表示i号颜色的袜子的个数，up[i],dw[i]表示i号提问的答案

LL read()
{
    LL x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-f;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}

bool cmp(qnode a,qnode b)
{
    if(pos[a.l]==pos[b.l])
        return a.r<b.r;
    return pos[a.l]<pos[b.l];
}

LL gcd(LL a,LL b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}

void update(LL x,LL d)
{
    ans+=2*num[c[x]]*d+d*d;
    num[c[x]]+=d;
}

int main()
{
    n=read();m=read();
    block=(LL)sqrt(n);
    for(LL i=1;i<=n;i++)
    {
        c[i]=read();
        pos[i]=(i-1)/block+1;
    }
    for(LL i=1;i<=m;i++)
    {
        qu[i].l=read();qu[i].r=read();
        qu[i].id=i;
    }
    sort(qu+1,qu+m+1,cmp);//区间排序

    LL pl=1,pr=0,id;
    LL a,b,c;
    for(LL i=1;i<=m;i++)
    {
        id=qu[i].id;//以下为对区间修改
        if(qu[i].l==qu[i].r)
        {
            up[id]=0;dw[id]=1;
            continue;
        }
        if(pr<qu[i].r)
            for(LL j=pr+1;j<=qu[i].r;j++)
                update(j,1);
        else
            for(LL j=pr;j>qu[i].r;j--)
                update(j,-1);
        pr=qu[i].r;
        if(pl<qu[i].l)
            for(LL j=pl;j<qu[i].l;j++)
                update(j,-1);
        else
            for(LL j=pl-1;j>=qu[i].l;j--)
                update(j,1);
        pl=qu[i].l;
        a=ans-qu[i].r+qu[i].l-1;
        b=(qu[i].r-qu[i].l+1)*(qu[i].r-qu[i].l);
        c=gcd(a,b);
        a/=c;b/=c;//求最简整数比
        up[id]=a;dw[id]=b;
    }
    for(LL i=1;i<=m;i++)
        printf("%lld/%lld\n",up[i],dw[i]);
    return 0;
}