[AGC028C] Min Cost Cycle 题解
这题首先要切换角度，对着这个哈密顿回路瞪没啥用，我们考虑转化成每一个点的贡献。
我们任意挑选可行方案出来，发现每一个点 \(u\) （假设 \(from\) 连向它，它连向 \(to\)）的贡献只有四种情况：
- \(a_u<b_{to},b_u<a_{from}\)，这个点选取 \(a_u\) 和 \(b_u\) 都计入答案。
- \(a_u<b_{to},b_u>a_{from}\)，这个点选取 \(a_u\) 都计入答案。
- \(a_u>b_{to},b_u<a_{from}\)，这个点选取 \(b_u\) 都计入答案。
- \(a_u>b_{to},b_u>a_{from}\)，这个点 \(a_u\) 和 \(b_u\) 都不计入答案。
同时满足：
- 选取的数（\(a\) 被选的数量与 \(b\) 被选的数量之和）共计 \(n\) 个。
接下来我们从一个选取方案回推构图（哈密顿回路）方案。第一个想法是选取最小的 \(n\) 个数，但是这样是不对的，因为这样的选取方式不一定能对应一个方案。
我们看哈密顿回路中一条边的意义，为起点的 \(a\) 和终点的 \(b\) 选取较小的那个，这里我们可以采用一个技巧，把这个条件转化为起点的 \(a\) 和终点的 \(b\) 中选取且仅选取一个。
为什么这样正确？我们观察这样造成的多出来的一系列本应该不合法方案，发现如果这条边如果取另一个数答案一定更优，也就是说这些方案虽然不合法但是一定不能成为答案，所以，无所谓啦。
后面就简单了。
给出结论，只有这三种方案存在对应方案：
- 全选 \(a\)
- 全选 \(b\)
- 至少存在一个点 \(a\) 和 \(b\) 都被选择
前两种显然，不证了。
第三种口胡一下。
我们把左边那列视为 \(a\)，右边那列视为 \(b\)，选取的数为正方形，未选取的数为圆形。
我们要连 \(n\) 条边，连成一个环，一条边必须连接一个取和一个不取。
如果一部分选 \(a\)，一部分选 \(b\)，那么任意一个选 \(a\) 的点和任意一个选 \(b\) 的点是连不起来的，这个图不可能连通，所以不行。
如果有 \(k\) 个都选，必然也有 \(k\) 个都不选，这里再分四种情况：
-
全是都选或都不选
-
都选 + 只选 \(a\)
-
都选 + 只选 \(b\)
和上一种本质一样。
-
都选 + 只选 \(a\) + 只选 \(b\)
具体做法嘛。。前两个特判，后一种枚举一个强制两个都选，剩下所有数中的贪心选取最小的 \(n-2\) 个，因为其它点的选择是无所谓的。
这里先最小的 \(n\) 个全扔小根堆里，然后看每一个点强制双选的时候，它的 \(a\) 和 \(b\) 有几个数是在小根堆里，记为 \(k\)，\(k\) 只能是 \(0\) 或 \(1\) 或 \(2\)，用 \(a\) 和 \(b\) 中不在小根堆里的数之和加上小根堆中最小的 \(n-k\) 个数之和（这个可以预处理）更新答案。
