可持久化数据结构

文章目录

• 可持久化数据结构
• • 两句闲话
  • 可持久化 $Trie$
  • • 实现
    • 例题
  • 可持久化线段树(主席树)
  • • 实现
    • 例题

可持久化数据结构

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两句闲话

可持久化的前提:该数据结构本身的拓扑结构在操作时保持不变

常见的可持久化:堆,线段树,树状数组,$trie\dots$

常见的不支持持久化:平衡树…

那么可持久化能解决什么问题呢?

• 保存数据结构的所有历史版本 git

暴力备份?肯定不行 MLE+TLE

类似于git,可持久化数据结构只会记录每一个版本和前一个版本不一样的地方

以线段树为例,每次操作最多改变了$4logn $个节点,复杂度就成了 $O(mlogn)$ 级别

可持久化 $Trie$

实现

先放图:

比较值得注意的一点:每次记录和上一版本的不同

若是该节点有变化,就把他裂开(克隆),裂开一个新的路径

对于插入操作:

p=root[i-1];

先让指针指向上一个版本

q=root[i]=++idx;

开个节点

if(!p)那么说明了 $p$ 是一个船新节点,与前一个版本一点关系都没有

if(p)和上一个版本有关系,克隆下来:tr[q]=tr[p],裂开,指过去

tr[q][si]=++idx

p=tr[p][si],q=tr[q][si]

然后接着搞

例题

P4735最大异或和

首先搞个前缀和:

$S_0=0,s_1=A_1,s_2=A_1\oplus A_2,s_3=A_1 \oplus A_2 \oplus A_3,\dots $

那么 $A_p\oplus A_{p+1}\dots A_n\oplus x$ $⟺$ $S_{p-1}\oplus S_n\oplus x$

目标,在区间内找到一个 $p$ 使上面这个式子最大

令 $c=S_n\oplus x$

要找到 $S_{p-1}\oplus c$ 最大

$c=110010101...$

我们从首位向后枚举,是0尽量选1,是1尽量选0,这样就最大了

考虑用 $trie$ 来维护

若考虑在 $[1,R]$ 中选,可以用可持久化 $trie$ 记录下每个历史版本

这样这棵树就存下了1~R 中的每个数的前缀和(历史版本)

若限制变成了 $[L,R]$ 那么我们在搜的时候,相当于问我们选的子树中,是否至少存在一个数,大于等于 $L$

$⟺$ 左子树下标最大值是否大于等于 L

于是我们可以记录一个maxid,记录当前子树下标的最大值

每次递归用maxid和L比

然后就行了吧

代码:

/*************************************************************************
    > File Name: p4735鏈€澶у紓鎴栧拰.cpp
    > Author: typedef
    > Mail: 1815979752@qq.com 
    > Created Time: 2020/11/25 22:38:07
 ************************************************************************/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=6e5+7,M=N*25;
int n,m;
int tr[M][2],maxid[M];
int root[N];
int s[N];
int idx=0;
void insert(int i,int k,int p,int q){//i鏄墠缂€鍜屼笅鏍噋鏄笂涓€涓増鏈?q鏄柊鐨勭増鏈琸鏄綋鍓嶅鐞嗗埌绗嚑浣?
	if(k<0){
		maxid[q]=i;
		return;
	}
	int v=s[i]>>k&1;//褰撳墠浣?
	if(p) tr[q][v^1]=tr[p][v^1];//璇存槑q鏄痯鐨勫鍒?
	tr[q][v]=++idx;
	insert(i,k-1,tr[p][v],tr[q][v]);
	maxid[q]=max(maxid[tr[q][0]],maxid[tr[q][1]]);
	return;
}
int query(int root,int c,int l){
	int p=root;
	for(int i=23;i>=0;i--){
		int v=c>>i&1;
		if(maxid[tr[p][v^1]]>=l) p=tr[p][v^1];
		else p=tr[p][v];
	}
	return c^s[maxid[p]];
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	maxid[0]=-1;
	root[0]=++idx;
	insert(0,23,0,root[0]);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int x;
		scanf("%d",&x);
		s[i]=s[i-1]^x;
		root[i]=++idx;
		insert(i,23,root[i-1],root[i]);
	}
	char op[2];
	int l,r,x;
	while(m--){
		scanf("%s",op);
		if(*op=='A'){
			scanf("%d",&x);
			n++;
			s[n]=s[n-1]^x;
			root[n]=++idx;
			insert(n,23,root[n-1],root[n]);
		}
		else{
			scanf("%d%d%d",&l,&r,&x);
			printf("%d\n",query(root[r-1],s[n]^x,l-1));
		}
	}
	system("pause");
	return 0;
}

可持久化线段树(主席树)

实现

思想类似于可持久化 $trie$ 每次修改存下新的版本,只存下变化的地方

如果说某一次修改导致一些节点发生了变化,那么久存下来

没有变化的节点就不用了

struct president_tree{
    int l,r;//表示左右子节点的下标
    int cnt;//当前区间中一共有多少个数   
}

主席树难以进行区间修改操作,毕竟标记下传太难写了,而且会T掉

标记永久化?我不会$QAQ$

放个图:

基本没啥区别吧

例题

P3834 【模板】可持久化线段树 2

特点:静态问题

经典做法:划分树(好像只能解决区间第K小 $O(nlogn)$ ) , 树套树(线段树套平衡树 套set(支持修改操作$O(nlo{g}^{2}n))$,还有就是可持久化线段树 $O(nlogn)$

数据比较大,由于只是查询排名,我们可以搞一个离散化

我们可以在数值上建立线段树,维护每个数值区间中一共有多少个数

那么问题来了,如何求整体的第k小数?

我们可以把二分做到树里面去

0          mid         n-1
|-----------|-----------|
首先查询[0,mid] 
得到cnt
cnt>=k?递归左边:递归右边
复杂度 O(logn)

那么如果加了限制 $[l,r]$ 该怎么办呢?

先考虑 $[1,r]$

我们记录下从加上第一个数到第 r 个数的线段树的历史版本

root[R]表示只加前 r 个数的线段树

那么再考虑左端点

主席树有个很好的性质,每一颗树的结构都是一样的

因此每个树中,每个节点都能与另一个版本的这个节点对应(一一对应)

因此可以利用一个类似前缀和的性质

同时二分左端点和右端点

代码:

/*************************************************************************
    > File Name: p3834[妯℃澘]鍙寔涔呭寲绾挎鏍?.cpp
    > Author: typedef
    > Mail: 1815979752@qq.com 
    > Created Time: 2020/11/27 19:58:02
 ************************************************************************/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=200010,M=20010;
int n,m;
int a[N];
vector<int> nums;
struct node{
	int l,r;
	int cnt;
}tr[N*4+N*17];
int root[N],idx;
int find(int x){
	//杩斿洖鍘熸暟鐨勭鏁ｅ€?
	return lower_bound(nums.begin(),nums.end(),x)-nums.begin();
}
int build(int l,int r){
	//绾挎鏍戞柊寤鸿妭鐐?
	int p=++idx;
	if(l==r) return p;
	int mid=l+r>>1;
	tr[p].l=build(l,mid),tr[p].r=build(mid+1,r);
	return p;
}
int insert(int p,int l,int r,int x){//p鏄巻鍙茬増鏈殑绾挎鏍?l鏄尯闂村乏绔偣,r鏄尯闂村彸绔偣,x鏄鍔犲叆鐨勬暟
	//鏂板缓涓€棰楃嚎娈垫爲
	int q=++idx;
	tr[q]=tr[p];//澶嶅埗
	if(l==r){
		tr[q].cnt++;
		return q;
	}
	int mid=l+r>>1;
	//鍒ゆ柇鍝釜瀛愯妭鐐瑰彂鐢熶簡鍙樺寲
	if(x<=mid) tr[q].l=insert(tr[p].l,l,mid,x);
	else tr[q].r=insert(tr[p].r,mid+1,r,x);
	//update
	tr[q].cnt=tr[tr[q].l].cnt+tr[tr[q].r].cnt;
	return q;
}
int query(int q,int p,int l,int r,int k){
	//
	if(l==r) return r;
	int cnt=tr[tr[q].l].cnt-tr[tr[p].l].cnt;
	int mid=l+r>>1;
	if(k<=cnt) return query(tr[q].l,tr[p].l,l,mid,k);
	else return query(tr[q].r,tr[p].r,mid+1,r,k-cnt);
}
int main(){
//	freopen("testin.txt","r",stdin);
//	freopen("testout.txt","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a[i]);
		nums.push_back(a[i]);
	}
	sort(nums.begin(),nums.end());
	nums.erase(unique(nums.begin(),nums.end()),nums.end());
	root[0]=build(0,nums.size()-1);
	for(int i=1;i<=n;i++) root[i]=insert(root[i-1],0,nums.size()-1,find(a[i]));
	while(m--){
		int l,r,k;
		scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
		printf("%d\n",nums[query(root[r],root[l-1],0,nums.size()-1,k)]);
	}
	system("pause");
	return 0;
}