2-SAT

2-SAT

引入

我们有很多个变量,分别为$x_1,x_2,\dots ,x_n$

每个变量有真假两种情况

我们有几个条件,由几个变量或起来,可以添加非,如:

• $x_1\cup x_2\cup x_3$
• $\neg x_2\cup \neg x_3\cup x_4$

在SAT问题中,我们求出这些变量的取值,满足许多个这样的条件

然而不幸的是,SAT问题是一个NPC问题,我们没有办法在多项式时间内求出解

不过,对于2-SAT问题,我们有比较好的解法

在2-SAT问题中,我们在条件中只会涉及到两个变量,如:

• $x_1\cup x_3$
• $\neg x_3\cup x_4$

有了这个条件限制,我们可以在$O(n+m)$的复杂的内求解

比较奇怪是,我们使用tarjan算法求解

例题

【模板】2-SAT 问题

AcWing链接

$$a\cup b⟺\neg a\Rightarrow b\neg b\Rightarrow a$$
于是我们对于$\neg a\to b$建一条有向边,$\neg b\to a$建一条有向边

一个例子:

如何判断无解呢?

对于一个点$x_1$如果我们当前路径经过了$\neg x_1$,并且沿着$\neg x_1$走能到达$x_1$

也就是说,$x_1=1$时,则$\neg x_1$必须取1,$\neg x_1$取1,则$x_1$必须取1

因此当变量$x_i$与$\neg x_i$处于同一个强连通分量中时无解

因此我们选用tarjan

哪如果每一对$x_i$与$\neg x_i$都不在用一个强连通分量中时,是不是一定有解呢?

答案是肯定的

集体来说,我们枚举所有点

我们进行缩点,得到一张拓扑图

我们进行拓扑排序

对于$x_i$与$\neg x_i$

我们找到他们各自所在的连通块(缩完点之后的点)

找到他们在拓扑排序中被遍历到的顺序

我们让顺序靠后的连通块成立

就OK了

/*************************************************************************
    > File Name: [模板]2-SAT问题.cpp
    > Author: Typedef 
    > Mail: 1815979752@qq.com 
    > Created Time: 2021/3/4 22:23:14
    > Tags: 2-SAT tarjan
 ************************************************************************/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2000010,M=2000010;
int n,m;
int h[N],e[M],ne[M],idx;
int dfn[N],low[N],ts,stk[N],top;
int id[N],cnt;
bool ins[N];
void add(int a,int b){
	e[idx]=b,ne[idx]=h[a],h[a]=idx++;
}
void tarjan(int u){
	dfn[u]=low[u]=++ts;
	stk[++top]=u,ins[u]=true;
	for(int i=h[u];~i;i=ne[i]){
		int j=e[i];
		if(!dfn[j]){
			tarjan(j);
			low[u]=min(low[u],low[j]);
		}else if(ins[j]) low[u]=min(low[u],dfn[j]);
	}
	if(low[u]==dfn[u]){
		int y;
		cnt++;
		do{
			y=stk[top--],ins[y]=false,id[y]=cnt;
		}while(y!=u);
	}
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	memset(h,-1,sizeof(h));
	while(m--){
		int i,a,j,b;
		scanf("%d%d%d%d",&i,&a,&j,&b);
		i--,j--;
		add(2*i+!a,2*j+b);
		add(2*j+!b,2*i+a);
	}
	for(int i=0;i<n*2;i++)
		if(!dfn[i])
			tarjan(i);
	for(int i=0;i<n;i++)
		if(id[i*2]==id[i*2+1]){
			puts("IMPOSSIBLE");
			return 0;
		}
	puts("POSSIBLE");
	for(int i=0;i<n;i++)
		if(id[i*2]<id[2*i+1]) printf("0 ");
		else printf("1 ");
	system("pause");
	return 0;
}