[GDKOI2016]地图

前话：这可能是我做的所有题中时间跨度最大的题了，5.4-5.13，因为中间停竞赛了（

Description

给定一个 \(n*m\) 的地图，每个地方可能是平地，障碍物，出口，入口，神器或未知。现在你要求有多少种地图，使得它满足：

1. 入口，出口和神器均出现一次且不在同一个格子里；

2. 上述三者两两四联通。

答案对 \(10 ^ 9 + 7\) 取模。

\(1\leq n,\ m \leq 7\)

Analysis

首先你有一个 \(O(5 ^ {nm})\) 的算法，然后加个特判条件 1 就可以优化到大概 \(O(2 ^{nm})\) 了。

（好吧我在说废话）

仔细想想：方格图，连通块，\(7*7\)（指比较小），方案数。

我们发现这到题无论从题目背景还是数据范围都很插头 DP 。

哟西，开干，不想做了溜了。

Solution

连通块的类似问题我们是已经见识过的了，用最小表示法维护一整行的联通情况。

由于一行最多 \(7\) 个格子，最多会有 \(4\) 个单独的连通块，加上不属于任何连通块的一种，再怎么着 \(8\) 进制状态也是够了的。

但是好像有些特殊限制，那我们可以在末尾加三个位置，专门记录入口。出口和神器处在的连通块。

然后最统计答案的话，按照题目要求，只要全部属于一个连通块就行。

那现在只剩下转移了哈哈。

不过意外的发现转移分讨量小的惊人：

1. 障碍物直接把原位置变成零就能插入；

2. 其他非问号该是啥是啥；

3. 问号分成上面两种情况做就行。

然后 \(2,\ 3\) 情况插入非问号的时候注意连通块的变化：

1. 如果是入口，出口或神器要判断是否已经插入过，有的话就当作什么事没发生，默默跳过；

2. 如果左边和上边都不属于连通块，新开一个连通块；

3. 如果仅左边有连通块或仅上边有连通块，谁有就继承谁的；

4. 都有的话就把全部属于两个连通块的格子变成其中一个。

结束之后记得如果插入的是入口，出口或神器要把单独拎出来的位置也标记好。

Code

Code

/*
2 3
S#E
???
*/
#include 
//#define int long long
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 12, zs = 299987, mod = 1e9 + 7;
int n, m, a[N][N], c[N], pl[N], sig[N], co1, co2, co3, ans;
int now, las, inc[N], fst[zs + 10], tot[2];
char s[N];
struct mdzz {int nxt, bt[2], val[2];} e[(1 << 24) + 10];
inline int read() {
	int s = 0, w = 1;
	char ch = getchar();
	while (!isdigit(ch)) {if (ch == '-') w = -1; ch = getchar();}
	while (isdigit(ch)) {s = (s << 3) + (s << 1) + (ch ^ 48); ch = getchar();}
	return s * w;
}
inline int mini(int x) {
	memset(pl, 0, sizeof(pl));
	int cnt = 0;
	for (int i = 1; i <= m + 3; ++i) {
		c[i] = x & 7, x >>= 3;
		if (!c[i]) continue;
		if (!pl[c[i]]) pl[c[i]] = ++cnt;
		c[i] = pl[c[i]];
	}
	co1 = c[m + 1]; co2 = c[m + 2]; co3 = c[m + 3];
	for (int i = m + 3; i >= 1; --i) x = (x << 3) | c[i];
	return x;
}
inline void insert(int bit, int num) {
	int u = bit % zs + 1;
	for (int i = fst[u]; i; i = e[i].nxt) {
		if (e[i].bt[now] == bit) {
			e[i].val[now] += num;
			if (e[i].val[now] >= mod) e[i].val[now] -= mod;
			return ;
		}
	}
	e[++tot[now]].nxt = fst[u];
	e[tot[now]].bt[now] = bit;
	e[tot[now]].val[now] = num;
	fst[u] = tot[now];
}
inline void obstacle(int u, int v, int bit, int num) {
	int x = bit;
	for (int i = 1; i <= m + 3; ++i) c[i] = x & 7, x >>= 3;
	c[v] = 0;
	for (int i = m + 3; i >= 1; --i) x = (x << 3) | c[i];
	x = mini(x);
	insert(x, num);
}
inline void puspace(int u, int v, int bit, int num) {
	int x = bit;
	for (int i = 1; i <= m + 3; ++i) c[i] = x & 7, x >>= 3;
	if (a[u][v] == 1 && c[m + 1]) return ;
	if (a[u][v] == 2 && c[m + 2]) return ;
	if (a[u][v] == 3 && c[m + 3]) return ;
	if (!c[v - 1] && !c[v]) c[v] = 7;
	else if (!c[v - 1] && c[v]) ;
	else if (c[v - 1] && !c[v]) c[v] = c[v - 1];
	else {
		int s = c[v - 1], t = c[v];
		for (int i = 1; i <= m + 3; ++i) {
			if (c[i] == t) c[i] = s;
		}
	}
	if (a[u][v] == 1) c[m + 1] = c[v];
	else if (a[u][v] == 2) c[m + 2] = c[v];
	else if (a[u][v] == 3) c[m + 3] = c[v];
	for (int i = m + 3; i >= 1; --i) x = (x << 3) | c[i];
	x = mini(x);
	insert(x, num);
}
inline void Plugdp(int i, int j, int bit, int num) {
	if (a[i][j] == 5) obstacle(i, j, bit, num);
	else if (!a[i][j]) {
		int pre = a[i][j];
		for (int k = 1; k <= 5; ++k) {
			if (k <= 3 && sig[k]) continue;
			a[i][j] = k;
			if (k == 5) obstacle(i, j, bit, num);
			else puspace(i, j, bit, num);
		}
		a[i][j] = pre;
	}
	else puspace(i, j, bit, num);
}
inline void plug() {
	e[tot[now] = 1].val[now] = 1; e[1].bt[now] = 0;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		for (int j = 1; j <= m; ++j) {
			memset(fst, 0, sizeof(fst));
			swap(las, now); tot[now] = 0;
			for (int k = 1; k <= tot[las]; ++k) {
				int bit = e[k].bt[las], num = e[k].val[las];
				Plugdp(i, j, bit, num);
			}
		}
	}
}
inline void calc() {
	for (int i = 1, x; i <= tot[now]; ++i) {
		x = e[i].bt[now];
		for (int j = 1; j <= m + 3; ++j) {
			c[j] = x & 7; x >>= 3;
		}
		if (!c[m + 1] || !c[m + 2] || !c[m + 3]) continue;
		else if (c[m + 1] == c[m + 2] && c[m + 2] == c[m + 3]) {
			(ans += e[i].val[now]) %= mod;
		}
	}
	printf("%d\n", ans);
}
int main() {
//	freopen("map.in", "r", stdin);
//	freopen("map.out", "w", stdout);
	n = read(); m = read();
	inc[0] = 1; las = 1;
	for (int i = 1; i <= m; ++i) inc[i] = inc[i - 1] << 3;
	for (int i = 1; i <= n; ++i) {
		scanf("%s", s + 1);
		for (int j = 1; j <= m; ++j) {
			if (s[j] == '?') a[i][j] = 0;
			else if (s[j] == 'S') a[i][j] = 1, sig[1] = 1;
			else if (s[j] == 'E') a[i][j] = 2, sig[2] = 1;
			else if (s[j] == 'X') a[i][j] = 3, sig[3] = 1;
			else if (s[j] == '.') a[i][j] = 4;
			else if (s[j] == '#') a[i][j] = 5;
		}
	}
	plug();
	calc();
	return 0;
}