数论随笔（updating）

数论笔记

BSGS（大步小步法）

​ 求解形如\(a^x \equiv b (mod p)\)的方程的\(x\)解\((gcd(a,b) = 1)\)

​ 令\(x = m\sqrt{p}-n(m,n\leq \sqrt{p})\)，那么\(a^{m\sqrt{p}-n}\equiv b(mod p)\)，将两边同乘一个\(a^n\)，可得\(a^{m\sqrt{p}}\equiv ba^n(mod p)\)

​ 然后先枚举\(n\)，用哈希表把右边存下来，再枚举\(m\)，看有无能与它同余的\(n\)值，就可以知道\(x\)。

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​ 若要求最小解，哈希表中相同哈希值的那一位取\(n\)的最大值，然后在比较的时候取一下\(max\)值就好了。

总结：数论中常用的构造法的一个鲜明的例子，将枚举\(p\)次构造成两边各枚举\(\sqrt{p}\)次，以后数论中要常想到用这种构造法。

扩展BSGS

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​ 假如上面的\(a,p\)不互质该怎么办呢？

​ 辣么我们通过不断除去\(gcd(a,p)\)，来使它们变得互质，具体而言：

​ 首先求\(gcd(a,p)=c_i\)，然后可以得到\(\frac{a}{c_i}a^{x-1}\equiv \frac{b}{c_i}(mod\ \frac{p}{c_i})\)

​ 然后，\(\frac{a}{c_i}a^{x-1}\)与\(\frac{p}{c_i}\)可能依然不互质，那么我们依葫芦画瓢，再除去一个\(gcd(a,\frac{p}{c_i})\)。

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​ 如果仍然不互质，就一直除到两者互质为止，假设我们除了\(k\)次，那么我们可得

​ \(\frac{a^k}{\prod_{i=1}^{k} c_i}a^{x-k}\equiv \frac{b}{\prod_{i=1}^{k} c_i}(mod\ \frac{p}{\prod_{i=1}^{k} c_i})\)

​ 然后\(\frac{a^k}{\prod_{i=1}^{k} c_i}\)是个可以算出来的常量，我们把它除到右边去就好了，因为\(\frac{p}{\prod_{i=1}^{k} c_i}\)与\(a\)互质，所以有逆元，可以除。

​ 当然，\(x\)可能小于\(k\)，我们\(O(\sqrt{p})\)的时间直接枚举看看在小于\(k\)的范围内有没有解就好了。