线性代数笔记 #2 | 向量空间相关

所用教材:
席南华 基础代数(第一卷)
柯斯特利金 代数学引论
练习模块:https://www.cnblogs.com/IhopeIdieyoung/p/17495666.html

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线性相关(linear dependence): 我们定义${\mathbb{R}}^n$中的向量(组)$v_1,v_2,\cdots v_k$是线性相关的, 当且仅当存在不全为0的数(纯量)$a_1,a_2,\cdots a_k$使得

$$a_1{v}_1+a_2{v}_2+\cdots +a_k{v}_k=\overrightarrow{0}$$

, 反之, 不存在这组数的话, 我们就称之为线性无关的.
(线性无关 $\Rightarrow$(蕴含) 系数组$a_1,a_2,\cdots a_k$全为0)

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命题1: 如果向量(组)$v_1,v_2,\cdots v_k$的一部分是线性相关的, 那么向量(组)$v_1,v_2,\cdots v_k$是线性相关的.
证明: 显然

推论1: 如果向量(组)$v_1,v_2,\cdots v_k$的是线性无关的, 那么向量(组)$v_1,v_2,\cdots v_k$的每一部分都是线性无关的.
证明: 同命题1

命题2: 如果向量(组)$v_1,v_2,\cdots v_k$的是线性相关的, 当且仅当其中至少有一个向量是其余向量的线性组合
证明:

命题3: 如果向量(组)$v_1,v_2,\cdots v_k$的是线性无关的, 而向量(组)$v_1,v_2,\cdots v_k,v^{‘}$是线性相关的, 那么$v^{‘}$是$v_1,v_2,\cdots v_k$的线性组合
证明:

命题4: 如果向量(组)$v_1,v_2,\cdots v_k$的是线性无关的, 而$v^{‘}$不科研表示成$v_1,v_2,\cdots v_k$的线性组合, 那么向量(组)$v_1,v_2,\cdots v_k,v^{‘}$是线性无关的
证明: 与命题3等价

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假设$V$是${\mathbb{R}}^n$的一个线性子空间, 假设$V$中的向量都可以表示成$V$中的向量(组)$v_1,v_2,\cdots v_k$的线性组合, 我们称向量(组)$v_1,v_2,\cdots v_k$为$V$的线性基, 或者基(basis)