P9813 Convex Hull 题解
\(\Large \text{题面}\) \(\Large \text{以及}\) \(\Large \text{PDF视图}\)
题目内容说的很直白了，接下来讲解做法。
思路
可以发现这是一个最短路问题，在最基础的模板上增加了一个“路径上边的 \(h_i\) 之和 \(<k\)”的限制。
为方便讲解，我们将“路径上边的 \(h_i\) 之和”用一个字母 \(p\) 代替。
考虑仍然使用 Dijkstra 算法（堆优化），并且进行一些细微的改动。
首先，\(dis\) 数组要增加一维，即由 \(dis[i]\) 变成 \(dis[i][j]\)，同时，其定义变成 从起点到节点 \(i\)，\(p\) 恰好为 \(j\) 的最短路径。
下面考虑对于算法实现过程的改动，具体表现为 更新 时的改动。
考虑当前点的“答案”，即当前点的 \(p\) 为某个小于 \(k\) 的值时距离起点的距离，是如何得到的。
可以类比一下 背包 的思想，会发现当前点的“答案”是通过相邻节点 对应位置 上的答案加上两点之间的距离转移来的。
那么什么是“对应位置”呢？
这个“位置”指的是下标，两点之间的下标应相差一个相应的 \(h\)。
下面是形式化一些的表达：
假设当前的节点为 \(u\)，遍历到的相邻节点为 \(v\)，那么 更新 的方程为 \(dis[v][i + h[u]]=dis[u][i]+t[u]\)，其中 \(0 \leq i < k - h[u]\)（\(i\) 不能小于 \(0\)，同时 \(i+h[u]\) 要小于 \(k\)）。
直观地讲就是 下标 增加了一个 \(h[u]\)，值 增加了一个 \(t[u]\)。（不难理解了吧……）
实现
\(Code\)
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef pair <int, int> PII;
const int K = 210, N = 2e3 + 5, M = 1e4 + 5; // 数据范围
int k, n, m, s, t;
int he[N], tot;
struct edge {
int to, nxt, t, h;
} e[M << 1]; // 双向边
int dis[N][K];
bool vis[N];
int ans = 0x3f3f3f3f; // 初始化成最大值，最终找到最小值
void add(int u, int v, int t, int h) {
e[ ++ tot] = (edge) {v, he[u], t, h};
he[u] = tot;
}
void dijkstra(int s) {
memset(dis, 0x3f, sizeof dis); // 类似于普通的 Dijkstra 中的初始化
dis[s][0] = 0;
priority_queue <PII, vector <PII>, greater <PII> > q; // 小根堆
q.push({0, s});
while (q.size()) {
auto p = q.top();
q.pop();
int u = p.second;
for (int i = he[u]; i; i = e[i].nxt) {
int v = e[i].to, h = e[i].h, t = e[i].t;
int minn = 0x3f3f3f3f; // 要取一个“最小值”
for (int j = 0; j < k - h; j ++ ) { // 循环区间合法
if (dis[v][j + h] > dis[u][j] + t) {
dis[v][j + h] = dis[u][j] + t;
minn = min(minn, dis[v][j + h]); // 要在更新后的数据中找到“最小值”，以进行接下来的更新
}
}
if (minn != 0x3f3f3f3f) // 如果“更新成功”
q.push({minn, v}); // 那么就把“最小值”放进堆里，进行接下来的更新
}
}
}
int main() {
cin >> k >> n >> m;
for (int i = 1, u, v, t, h; i <= m; i ++ ) {
cin >> u >> v >> t >> h;
add(u, v, t, h), add(v, u, t, h); // 建双向边
}
cin >> s >> t;
dijkstra(s); // 从起点开始
for (int i = 0; i < k; i ++ ) ans = min(ans, dis[t][i]); // 在 p 所有小于 k 的答案中找最小值
if (ans >= 0x3f3f3f3f / 2) // 一种技巧，即起点并不能通向终点，但终点会被其旁边的点更新
puts("-1"); // 但是又不会变小太多，所以用正无穷的一半即可完成判定
else cout << ans << endl;
return 0;
}
