IOI论文阅读笔记--动态规划
现仍在更新中...
博客只记录特殊技巧等blablalalal...
背包问题
崔天翼 背包九讲
背包可行性问题
每种有若干件物品能否恰好填满背包。貌似是楼教主“男人八题”。。。
这里代码不是很懂，还在思考
解决了， 此处构造思路如下：
- 定义\(F[i][j]\)为：只利用前i个物品填充枚举体积为j的背包，第i个物品最多剩余个数
- 两个关键循环的思路是这样的：第一个循环判断，前i-1个物品有没有办法完全填充，如果是这样那是最好的情况，那么我肯定直接让这第i个物品闲着
- 第二个循环，考虑在枚举体积允许第i个物品可以“插手”填充背包，也就是说，枚举体积开始可以容下第i个物品的时候，利用递归的思想（就是黑盒子，我的所有子问题统统解决好了），我开始做决定，我必须对第一个循环中被复制为-1的部分有所考虑，因为这一部分还没有引入i物品帮忙，所以第二个循环实质上做的是考虑可以让这第i个物品“插手”解决问题时，我能让i最大剩多少
总结起来，那个关键的循环其实是两步战略
- 第一步，保留我的“嫡系”部队，能让之前“雇佣兵”解决的我先不插手，不能解决对我特殊标记一下
- 第二步，实在没办法了，因为我首先解决问题要紧，这时候，开始考虑可以让我插手但是“雇佣兵”没有解决的部分。
背包混合问题
待代码熟练之后，再吃下这个问题
分组背包问题
这类问题技巧在于多一步：按组分类，而非此前按照物品序号定义状态，在此之后再在当前小组中选择合适的物品。
依赖背包问题
- 对于最简单情形，一个物品只能是依赖于一个，被依赖于一个，单身狗，之中一种，那么对于每一个被"舔"的物品，他的“舔狗”可以组成一个集合，当我们对此“单纯”的集合先01背包处理，我们可以将此集合看作是一个新的物品组，这里已经开始用到泛化物品的思想了，即，对于此集合中，一个费用对应一个最优价值，这一对对应关系我们可以定义出一个物品。在这之后，就已经转化为上一个的分组背包问题了
- 对于复杂的依赖关系是一个“森林”时，就是你的男神/女神是别人的舔狗，我们这里就需要递归地求解，即求每个父亲节点所等价的物品组之前，我们必须递归地利用此DP算法于他的所有子节点，
想想就炸裂
泛化物品问题
文章中还有将前面所有特殊背包问题转化为泛化物品的举例，关键定义在于泛化物品的和，以及将两个泛化物品代替以他们的和，不改变问题的最优答案。
此文阅读暂告一段落，等到熟悉代码时再返回记录心得。
徐持衡 09 浅谈几类背包问题
关于多次背包问题利用单调优先队列优化的问题：
首先给出参考博客：参考
大意复述：
在博客中提到，我们将原先转移方程里的队列比较，转化为另一种队列, 也就是提到的单调优先队列的形式，这种形式有两个好处：
- 表达形式具有通用性，可以看到对于不同的枚举时体积j，基本上只能在当前的j中做操作，而论文中利用余数进行分类的思路，帮我们在不同的j之间可以共享之前维护的成果
- 单调优先队列的构造，序号单调增加，关键值单调减少（或是反过来，看问题）使得我们每次更新完成之后的操作控制时间在O(1)
关键的转移方程：
优化前：\(F[i][j]= max\{F[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]\}, \quad (0<=k<=m[i])\)
优化后：\(F[i][j]= max\{F[i-1][b+k*d]-k*w[i]\}+a*w[i], \quad (a-m[i]<= k<= a)\)
其中：\(m[i]\)为物品i个数, \(v[i]\)为体积,\(j= a*d+b\)
可以看到，优化前的队列\(\{F[i-1][j-k*v[i]]+k*w[i]\}\),只可以在体积为j时访问与使用，而优化后的队列，相当于，数学中的语言来说，分离出一个常用队列\(\{F[i-1][b+k*d]-k*w[i]\}\)，使得所有\(modv[i]\)同余的j，都可以使用。
状态压缩
陈丹琦 08 基于连通性状态压缩的动态规划问题
插句闲话，小姐姐真的是好厉害的大牛orz...
状态设计
刘弈 08 浅谈信息学中状态的合理设计与应用
我大胡建真不是盖的。。。为何OI巨佬如此之多，我只是个沫。。。
DP中的好的状态设计往往能起到事半功倍的作用，此文举了三个例子说明。
- 正确分析状态的时间空间复杂度，状态数目以及状态转移效率
- 从一般枚举开始，逐步优化深入
- 优化过程分析冗余项，设定新的状态以除去冗余项并时刻注意复杂度分析
- 可以利用hash方法筛选必要项
优化
毛子青 01 动态规划算法的优化技巧
（福建就是强大的如此低调，脑补摊手手动作）
