【学习笔记】二分图

二分图の知识总理

First. 定义

万事都先需了解定义

简单来说，二分图（二部图）就是一种满足以下性质的图：

• 点集 $V$ 的两个不相交子集 $X$ 和 $Y$ 可以组成这个图，且两个子集中，同集合的点之间没有任何边连接。
• 将两集合一个染黑，一个染白，每条边一定连接着一黑一白点。
• $\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{奇}\mathrm{环}(\mathrm{长}\mathrm{度}\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{环})$(常用于判定二分图)

Second. 判定

如果判断不出一个图是否为二分图，就不能使用二分图的性质了。

Part.1 染色法

随便选取一个节点，将其染成黑色，接着将与它相连的点染成相反的颜色，如果出现了染色覆盖，那么此图不为二分图

Part.2 判奇环

使用bfs或dfs扫一遍图，如果存在奇环则不为二分图。

由性质三易证

Third.应用

Part.1 二分图最大匹配

肥肠重要，根本的根本，几乎所有二分图的题都会用到

最大匹配顾名思义就是最大的匹配，那什么是匹配呢？

接下来需要引入$\text{text color{\#16b1b8} 匹配}$ 的定义：

在图论中，假设图 G=(V,E)，其中 V 是点集，E 是边集。

一组两两没有公共点的边集 $(M(M\in E))$ 称为这张图的 匹配。

定义匹配的大小为其中边的数量 $|M|$，其中边数最大的 $M$ 为 最大匹配。

当图中的边带权的时候，边权和最大的为 最大权匹配。

匹配中的边称为 匹配边，反之称为 未匹配边。

而 二分图最大匹配就是二分图中，边数最大的匹配。

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前面掰掰了那么多定义，现在，该讲讲如何用算法来解决二分图最大匹配。

Algorithm.1 匈牙利算法

对于这个算法，我们还要引入一个概念怎么那么多概念啊：

$$\text{增}\mathrm{广}\mathrm{路}（augmentingpath）$$

对于一条由未匹配边、匹配边交错组成，且一未匹配边为始、未匹配边为终的路径即为 $\text{color}blue\mathrm{增}\mathrm{广}\mathrm{路}$。

由于增广路未匹配边一定比匹配边多 $1$，所以每次将增广路上的未匹配边与匹配边互换，匹配边就多了一。

由此可以得到，一直去寻找$\mathrm{增}\mathrm{广}\mathrm{路}\mathrm{直}\mathrm{到}\mathrm{找}\mathrm{不}\mathrm{到}\mathrm{时}$，即为求得最大匹配。

Code

int link[MAXN];//储存匹配边
bool road[MAXN];//标记是否走过
bool find(int x){
	for(auto i:G[x]){
		if(!road[i]){
			road[i] = 1;
			if(link[i] == 0||find(link[i])){//增广路交替的样子体现在这里
				link[i] = x;
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}
int find_max(){
	int ans = 0; 
	For(i,1,n){
		For(i,1,m) road[i] = 0;
		if(find(i)) ans ++;
	}
	return ans;
}

Algorithm.2 Dinic

还没学呢

Part.2 二分图最小点覆盖

定义

选最少的点，满足每条边至少有一个端点被选

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我们需要引入一个定理：$König$ 定理

一个二分图的最大匹配数等于这个图的最小点覆盖数。

所以我们只需要求出最大匹配数就能得到最小点覆盖数。

经典题目

• NKOJ P1524 柯南开锁

Part.3 二分图的最小路径覆盖

定义

在图中找一些路径，这些路径覆盖图中所有的顶点，且路径间无交点

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定理：

二分图最小路径覆盖=顶点总数 $V$ $-$ 最大匹配

二分图的解题方式

First. 寻

我们需要在题目中找出什么是 $X$ 集，什么是 $Y$ 集。

EG.1
NKOJ P2092 魏
此题的 $X$ 集不再是一个点，而是一条边，也就是曹操每次走的路径，而 $Y$ 集就是郭嘉的任务点。

Second. 建

寻找 $X$ 集 $Y$ 集的关系，进行连边。

EG2

P1963 [NOI2009] 变换序列 - 洛谷
此题需要通过距离$Dis$以及$Dis$的计算公式来建立 $i$与$T_i$ 之间的关系，连接出4条边。

Third. 判

判断此题为什么类型（最小点覆盖、最大匹配、最小路径覆盖），代入公式计算。

个人见解

我认为以上三个步骤中哪一步都不能少，其中有一些题目“寻”很难，比如：
P1263 [CEOI2002] Royal guards - 洛谷
它需要将连通的空地视为一块，将横列纵列分别标号，将纵列与横列相交的地方是空地的地方连边。