【学习笔记】二分图
二分图の知识总理
First. 定义
万事都先需了解定义
简单来说，二分图（二部图）就是一种满足以下性质的图：
- 点集 \(V\) 的两个不相交子集 \(X\) 和 \(Y\) 可以组成这个图，且两个子集中，同集合的点之间没有任何边连接。
- 将两集合一个染黑，一个染白，每条边一定连接着一黑一白点。
- \(\color{red}不存在奇环(长度为奇数的环)\)(常用于判定二分图)
Second. 判定
如果判断不出一个图是否为二分图，就不能使用二分图的性质了。
Part.1 染色法
随便选取一个节点，将其染成黑色，接着将与它相连的点染成相反的颜色，如果出现了染色覆盖，那么此图不为二分图
Part.2 判奇环
使用bfs或dfs扫一遍图，如果存在奇环则不为二分图。
由性质三易证
Third.应用
Part.1 二分图最大匹配
肥肠重要，根本的根本，几乎所有二分图的题都会用到
最大匹配顾名思义就是最大的匹配，那什么是匹配呢？
接下来需要引入\(\text \color{#16b1b8} 匹配\) 的定义：
在图论中，假设图 G=(V,E)，其中 V 是点集，E 是边集。
一组两两没有公共点的边集 \((M(M\in E))\) 称为这张图的 匹配。
定义匹配的大小为其中边的数量 \(|M|\)，其中边数最大的 \(M\) 为 最大匹配。
当图中的边带权的时候，边权和最大的为 最大权匹配。
匹配中的边称为 匹配边，反之称为 未匹配边。
而 二分图最大匹配就是二分图中，边数最大的匹配。
前面掰掰了那么多定义，现在，该讲讲如何用算法来解决二分图最大匹配。
Algorithm.1 匈牙利算法
对于这个算法，我们还要引入一个概念怎么那么多概念啊：
对于一条由未匹配边、匹配边交错组成，且一未匹配边为始、未匹配边为终的路径即为 \(\text \color{blue} 增广路\)。
由于增广路未匹配边一定比匹配边多 \(1\)，所以每次将增广路上的未匹配边与匹配边互换，匹配边就多了一。
由此可以得到，一直去寻找\(\color{blue}增广路直到找不到时\)，即为求得最大匹配。
Code
int link[MAXN];//储存匹配边
bool road[MAXN];//标记是否走过
bool find(int x){
for(auto i:G[x]){
if(!road[i]){
road[i] = 1;
if(link[i] == 0||find(link[i])){//增广路交替的样子体现在这里
link[i] = x;
return true;
}
}
}
return false;
}
int find_max(){
int ans = 0;
For(i,1,n){
For(i,1,m) road[i] = 0;
if(find(i)) ans ++;
}
return ans;
}
Algorithm.2 Dinic
还没学呢
Part.2 二分图最小点覆盖
定义
选最少的点，满足每条边至少有一个端点被选
我们需要引入一个定理：\(König\) 定理
一个二分图的最大匹配数等于这个图的最小点覆盖数。
所以我们只需要求出最大匹配数就能得到最小点覆盖数。
经典题目
- NKOJ P1524 柯南开锁
Part.3 二分图的最小路径覆盖
定义
在图中找一些路径，这些路径覆盖图中所有的顶点，且路径间无交点
定理：
二分图最小路径覆盖=顶点总数 \(V\) \(-\) 最大匹配
二分图的解题方式
First. 寻
我们需要在题目中找出什么是 \(X\) 集，什么是 \(Y\) 集。
EG.1
NKOJ P2092 魏
此题的 \(X\) 集不再是一个点，而是一条边，也就是曹操每次走的路径，而 \(Y\) 集就是郭嘉的任务点。
Second. 建
寻找 \(X\) 集 \(Y\) 集的关系，进行连边。
EG2
P1963 [NOI2009] 变换序列 - 洛谷
此题需要通过距离\(Dis\)以及\(Dis\)的计算公式来建立 \(i\)与\(T_i\) 之间的关系，连接出4条边。
Third. 判
判断此题为什么类型（最小点覆盖、最大匹配、最小路径覆盖），代入公式计算。
个人见解
我认为以上三个步骤中哪一步都不能少，其中有一些题目“寻”很难，比如：
P1263 [CEOI2002] Royal guards - 洛谷
它需要将连通的空地视为一块，将横列纵列分别标号，将纵列与横列相交的地方是空地的地方连边。
