扩展欧几里得算法 - Exgcd

前置 - 欧几里得算法

• 欧几里得算法是一种求 $gcd(a,b)$ 的算法，又名辗转相除法，即为：

$gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$

证明：

令 $d=gcd(a,b)$， $c=amodb=a-k\times b$（$k=\lfloor \frac{a}{b}\rfloor$）。

$\therefore \mathrm{若}gcd(a,b)=gcd(b,amodb)，\mathrm{则}\frac{c}{d}=\frac{a}{d}-\frac{b}{d}k。$

$\because \frac{a}{d}-\frac{b}{d}k\mathrm{为}\mathrm{整}\mathrm{数}$

$\therefore \frac{c}{d}\mathrm{为}\mathrm{整}\mathrm{数}\therefore d\mid c$

所以 $d$ 为 $b,c$ 的公因数。

接着：

设 $d\mid b,d\mid (amodb)$，我们还是可以像之前一样得到以下式子

$\frac{amodb}{d}=\frac{a}{d}-\frac{b}{d}k,\frac{amodb}{d}+\frac{b}{d}k=\frac{a}{d}$。

$\because$ 左边式子显然为整数

$\therefore \frac{a}{d}$ 也为整数，即 $d\mid a$，所以 $b,amodb$ 的公约数也是 $a,b$ 的公约数。

既然两式公约数都是相同的，那么最大公约数也会相同。

所以得证。

时间复杂度：

若 $a>2b$，那么 $amodb<b$，

若 $a<2b$，那么 $amodb<b$（因为最多减 1 个 $b$）

所以，每次 $a$ 至少缩小 $\frac{1}{2}$，知道 $a=0$ 结束，所以时间复杂度为 $\text{O}({\log }_{2}n)$。

扩展欧几里得 - Exented gcd

主要用来求解线性同余方程和不定方程（这两个是等价的）

0. 特殊的不定方程

该算法用于求解形如：$ax+by=gcd(a,b)$ 的不定方程的解。

证明： $ax+by=gcd(a,b)$ 一定有解

由于 $gcd(a,b)=gcd(b,amodb)$ （辗转相除）

所以有方程 $b{x}_0+(amodb)y_0=gcd(a,b)$

所以：$ax+by=b{x}_0+(amodb)y_0$

所以 $x=y_0,y=x0-\lfloor \frac{a}{b}\rfloor y_0$

依此类推，当 $a=gcd(a,b),b=0$ 时，一定有 $x=1$，而 $y$ 有无数种解。

所以，$ax+by=gcd(a,b)$ 一定有解。

由上过程，可写出求解一组 $x,y$ 的代码：

void exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
  if (b == 0) {
    x = 1, y = 0;
    return;
  }
  exgcd(b, a % b, y, x);
  y -= a / b * x;
}

1.求通常不定方程

设一个不定方程为：
$ax+by=c$

该方程有解的充要条件 $c$ 是 $gcd(a,b)$ 的倍数。

证明：

设方程 $ax+by=gcd(a,b)$。

两边同时乘以 $\frac{c}{gcd(a,b)}$，那么方程就变为：

$a\frac{c}{gcd(a,b)}x+b\frac{c}{gcd(a,b)}y=c$

由于 $a,b$ 定义为整数，所以 $\frac{c}{gcd(a,b)}$ 为整数，所以 $c$ 一定整除 $gcd(a,b)$。

于是乎，设 $ax+by=c$ 的一组解为 $x,y$，该方程的一组解即为 $x_0=x\times c/gcd(a,b),y_0=y\times c/gcd(a,b)$

2. 通解

对于不定方程 $ax+by=c$，其所有整数解均满足：

$x=x_0+kb/gcd(a,b)$

$y=y_0-ka/gcd(a,b)$

$x_0$, $y_0$ 是 $ax+by=c$ 的一组解，可以用 Exgcd 求出。

证明：

代回原式：

$a(x_0+kb/gcd(a,b))+b(y_0-ka/gcd(a,b))=c$

展开：

$a{x}_0+akb/gcd(a,b))+b{y}_0-bka/gcd(a,b)=c$

$a{x}_0+b{y}_0=c$

所以成立，得证。