P2738 [USACO4.1] 篱笆回路Fence Loops
前置知识:
思路
这道题是一个最小环问题。
但是由于这个题给定的是每条边所连接的其他边,所以我们需要把边的信息转移到边之间的交点上。
考虑给每个点编号,然后建图。
一种暴力的思路:
对于每个交点,记录连接了他的所有边的集合,由于每个交点如果连接的边不同,那么这两个点就不同,所以可以用此集合作为 map 的键,然后映射编号。
这里的集合可以使用 vector 代替。
然后每次记录这条边两个节点的连接边集合(注意需要排序,不然会被判定为不同的点,$\text{O}(n_1 \log n_ 1)$ 排序即可,这里 $n_1 \le 8$ 可以视作常数)。然后用 map 给它一个编号即可。
这里需要处理出左端点编号和右端点编号,然后连接左端点和右端点。
建好图后就是最小环模板了。
这里我用的是 Floyd 的 $\text{O}(n ^ 3)$ 的算法。
Floyd 算法有一个性质:在最外层循环到点 $k$ 时(尚未开始第 $k$ 次循环),最短路数组 $dis$ 中,$dis_{u,v}$ 表示的是从 $u$ 到 $v$ 且仅经过编号在 $[1, k - 1]$ 区间中的点的最短路。
此时枚举 $[1,k - 1]$ 中的两个节点 $u,v$,如果 $k$ 节点与 $u,v$ 连接,那么就能得到一个环,由于 $dis_{u,v}$ 是不经过 $\ge k$ 时,$u,v$ 的最短路所以就能得到包含 $k,u,v$ 的最小环,即 $dis_{u,v} + w_{u, k} + w_{k, v}$(将 $k$ 直接加入环中)。
时间复杂度: $\text{O}(n \log n + cnt ^ 3)$($cnt$ 指节点数)。
Code
int n, cnt;
ll dis[N][N], G[N][N];
ll ans = 0x3f3f3f3f;
map<vector<int>, int> mp;//用边集合来确定编号
signed main() {
ios::sync_with_stdio(0);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
for (int j = 1; j <= n; j ++) {
G[i][j] = 0x3f3f3f3f;
}
}
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
int id, w, cnt1, cnt2;
cin >> id;
cin >> w >> cnt1 >> cnt2;
vector<int> l, r;
l.push_back(id), r.push_back(id);
while(cnt1 --) {
int u;
cin >> u;
l.push_back(u);
}
while(cnt2 --) {
int u;
cin >> u;
r.push_back(u);
}
sort(l.begin(), l.end());// 边的集合
sort(r.begin(), r.end());// 边的集合
if(!mp[l]) mp[l] = ++ cnt;
if(!mp[r]) mp[r] = ++ cnt;
G[mp[l]][mp[r]] = w;// 存图
G[mp[r]][mp[l]] = w;
}
for (int i = 1; i <= n; i ++) {
for (int j = 1; j <= n; j ++) {
dis[i][j] = G[i][j];
}
}
for (int k = 1; k <= cnt; k ++) { // 最小环
for (int i = 1; i < k; i ++) {
for (int j = 1; j < i; j ++) {
ans = min(ans, dis[i][j] + G[i][k] + G[k][j]);
}
}
for (int i = 1; i <= cnt; i ++) {
for (int j = 1; j <= cnt; j ++) {
dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
}
}
}
cout << ans << endl;
return 0;
}