P2738 [USACO4.1] 篱笆回路Fence Loops

前置知识：

• 最小环 - OI Wiki

思路

这道题是一个最小环问题。

但是由于这个题给定的是每条边所连接的其他边，所以我们需要把边的信息转移到边之间的交点上。

考虑给每个点编号，然后建图。

一种暴力的思路：

对于每个交点，记录连接了他的所有边的集合，由于每个交点如果连接的边不同，那么这两个点就不同，所以可以用此集合作为 map 的键，然后映射编号。

这里的集合可以使用 vector 代替。

然后每次记录这条边两个节点的连接边集合（注意需要排序，不然会被判定为不同的点，$\text{O}(n_1 \log n_ 1)$ 排序即可，这里 $n_1 \le 8$ 可以视作常数)。然后用 map 给它一个编号即可。

这里需要处理出左端点编号和右端点编号，然后连接左端点和右端点。

建好图后就是最小环模板了。

这里我用的是 Floyd 的 $\text{O}(n ^ 3)$ 的算法。

Floyd 算法有一个性质：在最外层循环到点 $k$ 时（尚未开始第 $k$ 次循环），最短路数组 $dis$ 中，$dis_{u,v}$ 表示的是从 $u$ 到 $v$ 且仅经过编号在 $[1, k - 1]$ 区间中的点的最短路。

此时枚举 $[1,k - 1]$ 中的两个节点 $u,v$，如果 $k$ 节点与 $u,v$ 连接，那么就能得到一个环，由于 $dis_{u,v}$ 是不经过 $\ge k$ 时，$u,v$ 的最短路所以就能得到包含 $k,u,v$ 的最小环，即 $dis_{u,v} + w_{u, k} + w_{k, v}$（将 $k$ 直接加入环中）。

时间复杂度： $\text{O}(n \log n + cnt ^ 3)$（$cnt$ 指节点数）。

Code

int n, cnt;
ll dis[N][N], G[N][N];
ll ans = 0x3f3f3f3f;
map<vector<int>, int> mp;//用边集合来确定编号
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(0);
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = 1; j <= n; j ++) {
            G[i][j] = 0x3f3f3f3f;
        }
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        int id, w, cnt1, cnt2;
        cin >> id;
        cin >> w >> cnt1 >> cnt2;
        vector<int> l, r;
        l.push_back(id), r.push_back(id);
        while(cnt1 --) {
            int u;
            cin >> u;
            l.push_back(u);
        }
        while(cnt2 --) {
            int u;
            cin >> u;
            r.push_back(u);
        }
        sort(l.begin(), l.end());// 边的集合
        sort(r.begin(), r.end());// 边的集合
        if(!mp[l]) mp[l] = ++ cnt;
        if(!mp[r]) mp[r] = ++ cnt;
        G[mp[l]][mp[r]] = w;// 存图
        G[mp[r]][mp[l]] = w;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = 1; j <= n; j ++) {
            dis[i][j] = G[i][j];
        }
    }
    for (int k = 1; k <= cnt; k ++) { // 最小环
        for (int i = 1; i < k; i ++) {
            for (int j = 1; j < i; j ++) {
                ans = min(ans, dis[i][j] + G[i][k] + G[k][j]);
            }
        }
        for (int i = 1; i <= cnt; i ++) {
            for (int j = 1; j <= cnt; j ++) {
                dis[i][j] = min(dis[i][j], dis[i][k] + dis[k][j]);
            }
        }
    }
    cout << ans << endl;
    return 0;
}