【数学/数论】欧拉函数 - Phi

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• 待续

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引言

自 Mr.果 讲了 CF1900D 之后，决定复习 n 月之前学习的知识：欧拉函数。

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$$\mathrm{一}、\underset{―}{\mathrm{定}\mathrm{义}}$$

$$\mathrm{一}\mathrm{切}\mathrm{的}\mathrm{开}\mathrm{始}$$

欧拉函数，即 $\phi (x)$。

$$\phi (x)=\sum _{i=1}^x[gcd(x,i)=1]$$

它表示小于等于 $x$ 的数中，与 $x$ 互质的数的个数。

特别的，

1. $\phi (1)=1$；

2. $\phi (p)=p-1$（$p$ 为质数）；

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$$\mathrm{二}\mathsf{、}\underset{―}{\mathrm{性}\mathrm{质}}$$

$$\mathrm{解}\mathrm{题}\mathrm{或}\mathrm{优}\mathrm{化}\mathrm{的}\mathrm{关}\mathrm{键}$$

1. $\phi (x)$ 为积性函数。

$$\{\begin{array}{ll}\phi (xy)=\phi (x)\times \phi (y)& \text{ if }gcd(x,y)=1\\ \phi (2x)=\phi (x)& \text{ if }xmod2=1\end{array}$$

用途: 线性筛法求范围内所有 $\phi (x)$。

2. 欧拉反演
   一个正整数 $n$ 可以表示为：

$$n=\sum _{d\mid n}\phi (d)$$

证明

如果 $gcd(k,n)=d$，那么

$gcd({\displaystyle \frac{k}{d}},{\displaystyle \frac{n}{d}})=1$, $(k<n)$。

如果我们设 $f(x)$ 表示 $gcd(k,n)=x$ 的数的个数，那么
$n=\sum _{i=1}^{n}f(i)$。

根据上面的证明，我们发现，

$f(x)=\phi ({\displaystyle \frac{n}{x}})$，从而
$n=\sum _{d\mid n}\phi ({\displaystyle \frac{n}{d}})$。注意到约数 d 和 ${\displaystyle \frac{n}{d}}$ 具有对称性，所以上式化为 $n=\sum _{d\mid n}\phi (d)$。

$(Ctrl+v\mathrm{不}\mathrm{要}\mathrm{\%})$

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$$\mathrm{三}\mathsf{、}\underset{―}{\mathrm{应}\mathrm{用}}$$

$$\mathrm{一}\mathrm{些}\mathrm{较}\mathrm{为}\mathrm{基}\mathrm{础}\mathrm{的}\mathrm{套}\mathrm{路}\mathsf{or}\mathrm{算}\mathrm{法}$$

$$\mathsf{1}\mathsf{、}\underset{―}{\mathrm{线}\mathrm{性}\mathrm{筛}\mathrm{求}\mathrm{欧}\mathrm{拉}\mathrm{函}\mathrm{数}}$$

基本用途：对于要使用多个 $\phi (x)$ 的值时，如果一个一个 $O(\sqrt{n})$ 的求，效率将会很慢，而该算法适用于求一定值域范围内的所有欧拉函数值。

Time: $\text{O}(n)$ **Memory: **$\text{O}(n)$

使用性质：欧拉函数是积性函数。

小声BB：所有积性函数都可以用线性筛来求

ll pri[M], tot, phi[M];
bool isp[M];
// pri -> 储存素数（线性筛的基本框架）
// tot -> 素数个数
// isp -> 是否是素数
// phi -> 欧拉函数值
void pre(int Max){// Max -> 上界
    for(int i = 1; i <= Max; i ++) isp[i] = 1;
    isp[1] = 0;
    phi[1] = 1;//phi(1) = 1
    for(int i = 2; i <= Max; i ++){
        if(isp[i]){
            pri[++ tot] = i;
            phi[i] = i - 1;//除了1以外，所有小于等于质数的数都与质数互质
        }
        for(int j = 1;j <= tot && i * pri[j] <= Max;j ++){
            isp[i * pri[j]] = 0;
            if(i % pri[j]) phi[i * pri[j]] = phi[i] * phi[pri[j]];//积性函数的性质
            else{
                phi[i * pri[j]] = phi[i] * pri[j];
                break;
            }
        }
    }
}

$$\mathsf{2}\mathsf{、}\underset{―}{\mathsf{gcd}\mathrm{求}\mathrm{和}}$$

额，我也不会证，看看 dalao 的博客吧

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