AcWing算法进阶课 计算几何 凸包

 

凸包

什么是凸包

假设平面上现在有若干个点，现在我们过某些点做一个多边形，是这个多边形能够将所有点都包含起来【在多边形边上也算】。当这个多边形是一个凸多边形的时候，我们称它问凸包。

可以想象为给这些点外面箍上一个橡皮筋。

解决凸包问题的算法

暴力

时间复杂度为O(n^3)

思路：先确定两个点，然后枚举剩下的其他所有点，如果其他所有点都在这条直线的同一侧，则这两个点是凸包上的点，否则就不是。

解决：

1.枚举点对（将所有的点两两配对）组成的直线，对于每条直线，检查是否剩下的（n-2）个点是否在直线的同侧。

假设枚举的点对是a和b，而新的点是c，那么我们只需要判断他们的叉积是否同时为正或者同时为负就OK了。

 

Andrew算法

时间复杂度O(nlogn)【时间主要是在对坐标的快排上】

Andrew算法：Andrew算法是对Graham扫描法的改进。-

原理：

利用夹角，让整个图形保持左转。先将最左边的前两个点加入栈中，每次加入新点时判断是否左拐（叉积大于0），如果是就将新点直接加入；如果不是，就弹出栈顶，直到左拐，将新点加入栈中。【注意，栈中要保证至少有一个元素，也就是top>=2的时候才可以弹出栈顶】第一遍找的都是y小的点，也就是下凸包，上面没有，然后我们反着再来一遍。

流程：

1.将所有点进行快排，以x为第一关键字，y为第二关键字升序排序

2.先从左至右维护凸包的下半部分，然后再从右至左谓语上半部分。

3.将第一个点放入栈中，【这个点一定时凸包的最左边的点了，是不会清理掉的】，然后在将第二个点放入栈中。当栈中元素大于等于2的时候，就要判断栈顶元素是否还要保留。

如果新点在栈顶元素和次栈顶元素所组成的直线的右侧，那么，直接将新点加入栈中。

如果新点在栈顶元素和次栈顶元素所组成的直线的左侧，那么，将栈顶元素不断弹出，直到新点的位置出现在栈顶元素与次栈顶元素所在直线的右侧结束。

那么，我们这个过程，是从左往右走的，而且每次找的点都是在当前直线的右侧，也就是直线的下方向，那么我们得到的凸包就是我们的下半部分。

求上半部分的时候，从右往左排就自然而然是对的了。

 

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 10005;
struct Convex_hell{
  struct Point{
    double x, y;
    //重载小于号，用于sort排序
    bool operator< (const Point &W) const{
      if (x == W.x) return y < W.y;
      return x < W.x;
    }
    //重载减号，用于计算向量
    Point operator- (const Point &W) const{
      return {x - W.x, y - W.y};
    }
  };
  int n;
  Point q[N];
  int stk[N], top = 0;
  bool used[N];
  //获得两点之间的距离
  double get_dist(Point a, Point b)
  {
    double dx = a.x - b.x;
    double dy = a.y - b.y;
    return sqrt(dx * dx + dy * dy);
  }
  //获得向量叉积
  double cross(Point a, Point b)
  {
    return a.x * b.y - a.y * b.x;
  }
  //将三个点转为向量ab，和ac，计算向量叉积，如果是正说明点c在向量的左侧，是求凸包的方向。
  double area(Point a, Point b, Point c)
  {
    return cross(b - a, c - a);
  }
  //andrew算法，求凸包
  double andrew()
  {
    sort(q, q + n);
    for (int i = 0; i < n; i ++ )
    {
      while (top >= 2 && area(q[stk[top - 1]], q[stk[top]], q[i]) <= 0)
      {
        if (area(q[stk[top - 1]], q[stk[top]], q[i]) < 0)
          used[stk[top -- ]] = false;
        else top --;
      }
      stk[++ top] = i;
      // for (int i = 1; i <= top; i ++ ) cout << q[stk[i]].x << " " << q[stk[i]].y << endl;
      // printf("---------------------\n");
      used[i] = true;
    }
    // printf("<---------I am the happiness divider--------->\n");
    used[0] = false;
    for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
    {
      if (used[i]) continue;
      while (top >= 2 && area(q[stk[top - 1]], q[stk[top]], q[i]) <= 0)
        top --;//因为不需要used标记了，所以才显得这么短
      stk[++ top] = i;
      // for (int i = 1; i <= top; i ++ ) cout << q[stk[i]].x << " " << q[stk[i]].y << endl;
      // printf("---------------------\n");
    }
    double res = 0;
    for (int i = 2; i <= top; i ++ )
      res += get_dist(q[stk[i - 1]], q[stk[i]]);
    return res;
  }
}O;
int main()
{
  cin >> O.n;
  for (int i = 0; i < O.n; i ++ ) scanf("%lf%lf", &O.q[i].x, &O.q[i].y);
  printf("%.2lf\n", O.andrew());
  return 0;
}
​