AcWing算法进阶课 搜索 模拟退火法

涉及到最优化问题都可以尝试使用模拟退火法，比如DP问题、计算几何问题、贪心问题。

模拟退火法是一个经过优化的随机化算法，有很大概率找到最优解。

在使用这个算法的时候，题目应该具有一定的连续性。（函数的连续性比较强，有多峰的话，都可以尝试一下）

温度（步长） ： 初始温度（由题目的搜索空间范围确定），终止温度（温度降到什么时候程序会停下来），衰减系数（取一个比较接近1的从0到1的小数，采用指数型衰减，这个参数需要自己手调）

每次随机的时候，从当前点开始，向它一个区域内随机。温度越大，我们所考虑的当前点的邻域（范围）就越大，

温度是一个不断降低的过程，每次随机的区间是不断缩小的，最终会固定住点的位置。

 以取最小值点为例：

随机选择一个点：f(新点) - f(当前点) = ΔE

情况1：ΔE < 0 ，则跳到新点（能量值降低了，意味着当前点一定不是最低点，当前点一定不可选，则跳到新点）

情况2：ΔE > 0， 则以一定概率跳到新点，同时ΔE的值越小，跳过去的概率就越大，Δ的值越大，跳过去的概率就越小。

（如果Δ大于0，说明我们找的新点的能量值大于当前点，没有当前点能量值低，但是考虑到存在多个极值点，而我们找的是最小值，所以，我们以一定的概率跳到新的点，如果ΔE的值越小，说明两个点的能量值越接近，那么我们跳到新点的概率就越大，如果新点的能量比当前点的能量大了很多的话，那基本上就不需要跳过去了，也就是以很小的概率跳过去，取值的经验为：e^(-ΔE/T)（如果ΔE的值小于0，那么概率就是一个大于1的数，可以直接跳过去，若ΔE的值大于0，那么我们的取值就是一个0~1之间的数，而且如果E越大的话，我们的取值就会越小。

我们在操作的过程中，温度会不断降低，那么每次随机的区域就会越来越小，温度越低，同时往外乱跳的概率就会越小。最终，当我们的温度降到了终止温度的时候，程序就可以停下来了。

模拟退火法可以解决连续性较强的函数多峰问题的，当然也有可能最后只收敛到了一个局部最优解，为了降低收敛到局部最优解的概率，模拟退火整个的过程一般会迭代若干次，比如做100次，做100次意思是我们随机100个初值点。

模拟退火法流程：

void simulate_anneal()
{
  随意一个初值点
  for (T = 初始温度; T > 终止温度; T = T * 终止系数)
  {
    在当前点周围随机一个点
    Δ = f(新点) - f(当前点);
    if () 
  }
}

模拟退火法的常用的一些技巧：

模拟退火运行时间比较随机，不太好估计，我们可以使用卡时的方法

while (clock() < 0.8)

如果TLE的话，可以调节终止温度，和衰减系数

 

#include <bits/stdc++.h>
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<double, double> PDD;
const int N = 110;
int n;
PDD q[N];
double ans = 1e9;
//随机一个从l到r的浮点数的函数
double rand(double l, double r)
{
//随机数除以随机数的最大值，得到0到1的数，然后乘上步长加上左端点得到l到r的一个随机数
return (double)rand() / RAND_MAX * (r - l) + l;
}
double get_dist(PDD a, PDD b)
{
double dx = a.x - b.x;
double dy = a.y - b.y;
return sqrt(dx * dx + dy * dy);
}
//求一下全局的总的距离和是多少
double calc(PDD p)
{
double res = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
res += get_dist(p, q[i]);
ans = min(ans, res);
return res;
}
void simulate_anneal()
{
PDD cur(rand(0, 10000), rand(0, 10000));
for (double t = 10000; t >= 1e-4; t = t * 0.996)
{
//在当前点内随机一个新点
PDD np(rand(cur.x - t, cur.x + t), rand(cur.y - t, cur.y + t));
double delta = calc(np) - calc(cur);
if (exp(-delta / t) > rand(0, 1)) cur = np;
}
}
int main()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 0; i < n; i ++ ) scanf("%lf%lf", &q[i].x, &q[i].y);
for (int i = 0; i < 100; i ++ ) simulate_anneal();
printf("%.0lf\n", ans);
return 0;
}