时间复杂度

度量一个程序（算法）执行时间的两种方法：

1. 事后统计方法
  存在问题：
    （1）如果相对设计的算法的运行性能进行评测，需要实际运行该程序；
    （2）所得时间的统计量依赖于计算机的硬件、软件等环境因素，这种方式，要在同一台计算机的相同状态下运行，才能比较哪个算法速度更快。
2. 事前估算方法
  通过分析某个算法的时间复杂度来判断哪个算法更优。

时间频度

时间频度：一个算法花费的时间与算法中语句的执行次数成正比，哪个算法中语句执行次数多，它花费的时间就多。一个算法中的语句执行次数称为语句频度或事件频度。记为T(n)。
举例：

int total = 0;
int end = 100;
for(int i = 0;i <= end;i++){
    total += i;
}


/*
T(n) = n+1

直接计算
  total = (1+end)*end/2;
  T(n) = 1;
*/

特点：

1. 忽略常数项；
2. 忽略低次项；
3. 忽略系数；

时间复杂度

1. 一般情况下，算法中的基本操作语句的重复执行次数时问题规模n的某个函数，用T(n)表示，若有某个辅助函数发f(n)，使得当n趋近于无穷大时，T(n)/f(n) 的极限值为不等于零的常数，则称f(n)是T(n)的同数量级函数。记做 T(n) = O(f(n)) ，称O(f(n))为算法的渐进时间复杂度，简称时间复杂度。
2. T(n)不同，但时间复杂度可能相同。如：T(n)=n^2+7n+6 与 T(n)=3n^2+2n+2它们的T(n)不同，但是时间复杂度相同，都为O(n^2)。
3. 计算时间复杂度：
  （1）用常数1代替运行时间中的所有加法常数；
  （2）修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项；
  （3）去除最高阶项的系数；

常见时间复杂度：

1. 常数阶O(1)

  int i = 1;
  int j = 1;
  ++i;
  j++;
  int m = i+j;
/*
1. 无论代码执行了多少行，只要是没有循环等复杂结构，那这个代码的时间复杂度就都是O(1)
2. 上述代码在执行的时候，它消耗的时候并不随着某个变量的增长而增长，那么无论这类代码有多长，即使有几万几十万行，都可以用O(1)来表示它的时间复杂度。

*/

2. 对数阶

  int i = 1;
  while(i<n){
      i = i*2
  }

3. 线性阶O(n)

for(i = 1;i<=n;i++){
    j =i;
    j++;
}

说明：这段代码，for循环里面的代码会执行n遍，因此它消耗的时间是随着n的变化而变化的，因此这类代码都可以用O(n)来表示它的时间复杂度.

4. 线性对数阶O(nlogN)

for(m = 1;m<n;m++){
    i=1;
    while(i<n){
        i = i*2;
    }
}

说明：线性对数阶O(nlogN) 其实非常容易理解，将时间复杂度为O(logn)的代码循环N遍的话，那么它的时间复杂度就是 n * O(logN)，也就是了O(nlogN)

5. 平方阶O(n^2)

  for(i = 1;i<=n;i++){
        for(j = 1;j<=n;j++){
        }
  }

说明：平方阶O(n²) 就更容易理解了，如果把 O(n) 的代码再嵌套循环一遍，它的时间复杂度就是 O(n²)，这段代码其实就是嵌套了2层n循环，它的时间复杂度就是 O(nn)，即  O(n²) 如果将其中一层循环的n改成m，那它的时间复杂度就变成了 O(mn)。

6. 立方阶 O(n³)、K次方阶O(n^k)

平均时间复杂度与最坏时间复杂度

1. 平均时间复杂度是指所有可能的输入实例均以等概率出现的情况下，该算法的运行时间。
2. 最坏情况下的时间复杂度称最坏时间复杂度。一般讨论的时间复杂度均是最坏情况下的时间复杂度。 这样做的原因是：最坏情况下的时间复杂度是算法在任何输入实例上运行时间的界限，这就保证了算法的运行时间不会比最坏情况更长。
3. 平均时间复杂度和最坏时间复杂度是否一致，和算法有关(如图:)。

空间复杂度

1. 类似于时间复杂度的讨论，一个算法的空间复杂度(Space Complexity)定义为该算法所耗费的存储空间，它也是问题规模n的函数。
2. 空间复杂度(Space Complexity)是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度。有的算法需要占用的临时工作单元数与解决问题的规模n有关，它随着n的增大而增大，当n较大时，将占用较多的存储单元，例如快速排序和归并排序算法就属于这种情况
3. 在做算法分析时，主要讨论的是时间复杂度。从用户使用体验上看，更看重的程序执行的速度。一些缓存产品(redis, memcache)和算法(基数排序)本质就是用空间换时间.