进制之间转换

 

1.十----->二折叠

对于整数部分，用被除数反复除以2，除第一次外，每次除以2均取前一次商的整数部分作被除数并依次记下每次的余数。另外，所得到的商的最后一位余数是所求二进制数的最高位。

对于小数部分，采用连续乘以基数2，并依次取出的整数部分，直至结果的小数部分为0为止。故该法称“乘基取整法”。

10进制数转换成二进制数，这是一个连续除以2的过程：

把要转换的数，除以2，得到商和余数，

将商继续除以2，直到商为0。最后将所有余数倒序排列，得到数就是转换结果。

比如要转换6为二进制数。

“把要转换的数，除以2，得到商和余数”。

那么：要转换的数是6， 6 ÷ 2，得到商是3，余数是0。

“将商继续除以2,直到商为0……”

现在商是3，还不是0，所以继续除以2。

那就： 3 ÷ 2, 得到商是1,余数是1。

“将商继续除以2，直到商为0……”

现在商是1，还不是0，所以继续除以2。

那就： 1 ÷ 2, 得到商是0，余数是1

“将商继续除以2，直到商为0……最后将所有余数倒序排列”

现在商已经是0。

三次计算依次得到余数分别是：0、1、1，将所有余数倒序排列，那就是：110了！

6转换成二进制，结果是110。

2.二---->十折叠

二进制数转换为十进制数

二进制数第0位的权值是2的0次方，第1位的权值是2的1次方……

所以，设有一个二进制数：0110 0100，转换为10进制为：

下面是竖式：

0110 0100 换算成 十进制

" ^ " 为次方

第0位 0 * 2^0 = 0

第1位 0 * 2^1 = 0

第2位 1 * 2^2 = 4

第3位 0 * 2^3 = 0

第4位 0 * 2^4 = 0

第5位 1 * 2^5 = 32

第6位 1 * 2^6 = 64

第7位 0 * 2^7 = 0 +

公式：第N位2^（N）

---------------------------

100

用横式计算为：

0 * 2 ^ 0 + 0 * 2 ^ 1 + 1 * 2 ^ 2 + 0 * 2 ^ 3 + 0 * 2 ^ 4 + 1 * 2 ^ 5 + 1 * 2 ^ 6 + 0 * 2 ^ 7 = 100

0乘以多少都是0，所以我们也可以直接跳过值为0的位：

1 * 2 ^ 2 + 1 * 2 ^ 5 + 1 * 2 ^ 6 = 100

3.十---->八折叠

10进制数转换成8进制的方法，和转换为2进制的方法类似，唯一变化：除数由2变成8。

如何将十进制数120转换成八进制数。

用表格表示：

120÷8商15余0

15÷8商1余7

1÷8商0余1

120转换为8进制，结果为：170。

4.八---->十折叠

八进制就是逢8进1。

八进制数采用 0～7这八数来表达一个数。

八进制数第0位的权值为8的0次方，第1位权值为8的1次方，第2位权值为8的2次方……

例：1507，转换为十进制为：

用竖式表示：

1507换算成十进制。

第0位 7 * 8^0 = 7

第1位 0 * 8^1 = 0

第2位 5 * 8^2 = 320

第3位 1 * 8^3 = 512

--------------------------

839

同样，我们也可以用横式直接计算：

7 * 8^0 + 0 * 8^1 + 5 * 8^2 + 1 * 8^3 = 839

结果是，八进制数 1507 转换成十进制数为 839

5.十---->十六折叠

10进制数转换成16进制的方法，和转换为2进制的方法类似，唯一变化：除数由2变成16。

同样是120，转换成16进制则为：

120÷16商7余8

7÷16商0余7

120转换为16进制，结果为：78。

6.十六---->十折叠

16进制就是逢16进1，但我们只有0~9这十个数字，所以我们用A，B，C，D，E，F这六个字母来分别表示10，11，12，13，14，15。字母不区分大小写。

十六进制数的第0位的权值为16的0次方，第1位的权值为16的1次方，第2位的权值为16的2次方……

在第N（N从0开始）位上，如果是是数 X （X 大于等于0，并且X小于等于 15，即：F）表示的大小为 X * 16的N次方。

例有一个十六进数 2AF5, 那么如何换算成10进制

用竖式计算：

2AF5换算成10进制:

第0位： 5 * 16^0 = 5

第1位： F * 16^1 = 240

第2位： A * 16^2 = 2560

第3位： 2 * 16^3 = 8192 +

-------------------------------------

10997

直接计算就是：

5 * 16^0 + F * 16^1 + A * 16^2 + 2 * 16^3 = 10997

(别忘了，在上面的计算中，A表示10，而F表示15)

现在可以看出，所有进制换算成10进制，关键在于各自的权值不同。

十进数 1234 为什么是 一千二百三十四？算式：

1234 = 1 * 10^3 + 2 * 10^2 + 3 * 10^1 + 4 * 10^0

7.二---->八折叠

（11001.101）（二）

整数部分： 从后往前每三位一组，缺位处用0填补，然后按十进制方法进行转化， 则有：

001=1

011=3

然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是：31，那么这个31就是二进制11001的八进制形式

小数部分： 从前往后每三位一组，缺位处用0填补，然后按十进制方法进行转化， 则有：

101=5

然后我们将结果部分按从上往下的顺序书写就是：5，那么这个5就是二进制0.101的八进制形式

小数部分

所以：（11001.101）（二）=（31.5）（八）

8.八---->二折叠

（31.5）（八）

整数部分：从后往前每一位按十进制转化方式转化为三位二进制数，缺位处用0补充 则有：

1---->1---->001

3---->11

然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是：11001，那么这个11001就是八进制31的二进制形式

小数部分：从前往后每一位按十进制转化方式转化为三位二进制数，缺位处用0补充 则有：

5---->101

然后我们将结果按从下往上的顺序书写就是：101，那么这个101就是八进制5的二进制形式

所以：（31.5）（八）=（11001.101）（二）

9.十六---->二；二---->十六折叠

二进制和十六进制的互相转换比较重要。

一个二进制数：1111，它是多少呢？

可以要这样计算：1 * 2^0 + 1 * 2^1 + 1 * 2^2 + 1 * 2^3 = 1 * 1 + 1 * 2 + 1 * 4 + 1 * 8 = 15。

也可以这样计算1111才4位，所以我们必须直接记住它每一位的权值，并且是从高位往低位记，：8、4、2、1。即，最高位的权值为2^3 = 8，然后依次是 2^2 = 4，2^1=2， 2^0 = 1。

记住8421，对于任意一个4位的二进制数，我们都可以很快算出它对应的10进制值。

仅4位的2进制数 快速计算方法 十进制值 十六进值

1111 = 8 + 4 + 2 + 1 = 15 F

1110 = 8 + 4 + 2 + 0 = 14 E

1101 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13 D

1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12 C

1011 = 8 + 0 + 2+ 1 = 11 B

1010 = 8 + 0 + 2 + 0 = 10 A

1001 = 8 + 0 + 0 + 1 = 9 9

....

0001 = 0 + 0 + 0 + 1 = 1 1

0000 = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 0

二进制数要转换为十六进制，就是以4位一段，分别转换为十六进制。

上行为二制数，下面为对应的十六进制：

1111 1101 ， 1010 0101 ， 1001 1011

F D ， A 5 ， 9 B

若当我们看到 FD时，将它转换为二进制数呢？

先转换F：

看到F，我们需知道它是15，然后15如何用8421凑呢？应该是8 + 4 + 2 + 1，所以四位全为1 ：1111。

接着转换 D：

看到D，知道它是13，13如何用8421凑呢？应该是：8 + 4 + 1,即：1101。

所以,FD转换为二进制数，为： 1111 1101

由于十六进制转换成二进制相当直接，所以，我们需要将一个十进制数转换成2进制数时，也可以先转换成16进制，然后再转换成2进制。

例十进制数 1234转换成二制数，如果要一直除以2，直接得到2进制数，需要计算较多次数。所以我们可以先除以16，得到16进制数:

1234÷16 商77余 2

77÷16 商4 余13 (D)

4 ÷16商 0余 4

结果16进制为： 0x4D2

然后我们可直接写出0x4D2的二进制形式： 0100 1101 0010。

其中对映关系为：

0100 -- 4

1101 -- D

0010 -- 2

如果一个二进制数很长，我们需要将它转换成10进制数时，除了前面学过的方法是，我们还可以先将这个二进制转换成16进制，然后再转换为10进制。