基于用户投票的排名算法-贝叶斯平均

“威尔逊区间”通过调整置信区间来防止投票人数过少导致的排名不可信。然而，这一方法的一个显著问题是：排行榜前列往往被投票数最多的项目占据，而新项目或冷门项目难以脱颖而出。以IMDB为例，假设一部好莱坞大片有10,000名观众投票，而一部小成本文艺片只有100名观众投票。使用“威尔逊区间”时，后者的评分会因投票人数少而被大幅拉低，可能掩盖了其真实的质量。

贝叶斯平均的引入

为了克服上述问题，我们需要一种方法，能够在考虑投票数量差异的同时，赋予投票较少的项目合理的评分权重。贝叶斯平均（Bayesian Average）正是在这样的背景下被引入的。

IMDB的贝叶斯平均公式

IMDB在其排名系统中采用了贝叶斯平均，其计算公式如下：

\[ \text{WR} = \frac{v}{v + m} \times R + \frac{m}{v + m} \times C \]

其中：

• WR：加权得分（Weighted Rating）
• R：该电影的用户投票平均得分
• v：该电影的投票人数
• m：进入前250名的电影的最低投票数（例如3000）
• C：所有电影的平均得分（例如6.9）

这个公式的核心思想是：为每部电影增加一个“先验”评分，假设所有电影至少有m张选票，且这些选票的评分为C。这样，即使某部电影的实际投票数较少，其评分也不会因为投票数少而被极端拉低。

贝叶斯平均的通用形式

将IMDB的公式推广到更一般的情形，我们得到：

\[\text{贝叶斯平均} = \frac{n}{n + C} \times x + \frac{C}{n + C} \times m \]

其中：

• C：投票人数扩展的规模，通常设定为网站的平均投票数
• n：该项目的现有投票人数
• x：该项目的每张选票的值（如平均得分）
• m：总体平均分，即所有项目的算术平均值

这种方法通过结合“先验”信息（总体平均分）和“观测”数据（项目的实际得分），实现了对评分的平滑处理。随着投票人数的增加，贝叶斯平均逐渐接近项目的真实平均得分，从而在长期内反映项目的真实质量。

贝叶斯平均的优势

1. 平衡投票数量差异：贝叶斯平均有效地缩小了不同项目之间的投票人数差异，使得投票较少的项目有更公平的机会进入排名前列。
2. 防止极端评分：通过引入总体平均分，贝叶斯平均避免了因少量投票导致的极端评分，提升了排名的稳定性和可信度。
3. 逐步调整：随着更多投票的累积，贝叶斯平均逐步调整，确保评分能够准确反映项目的实际受欢迎程度。

贝叶斯平均的局限性

尽管贝叶斯平均在处理投票数量差异方面表现出色，但它也存在一定的局限性。主要问题在于其假设用户的投票服从正态分布。例如，假设两部电影A和B各有10名观众投票，电影A有5人给出五星，5人给出一星，而电影B的所有10人都给出三星。虽然两者的贝叶斯平均得分相同，但实际上，电影B可能比电影A更值得观看。

进一步的改进

为了解决贝叶斯平均的这一缺陷，可以考虑假设用户投票服从多项分布（Multinomial Distribution），并结合贝叶斯定理来估计各评分的期望值。这种方法能够更准确地反映投票的分布特性，但涉及复杂的统计学计算，超出了本文的讨论范围。有兴趣的读者可以参考William Morgan的文章《How to rank products based on user input》了解更多细节。