一个有趣的题目

有100个囚犯，监狱长想玩一个囚徒释放的游戏，在一个封闭的房间里放着一排张卡片，卡片反面都一样，正面写了每个人的名字，总共100张。

囚犯依次进入房间，每人最多翻50张卡片。如果翻开的卡片号码与自己的名字一致，那么这个囚犯就成功了。当且仅当所有的囚犯成功，大家才能被释放。

为了能够成功逃脱，囚犯们在玩游戏之前可以一起商量选卡片的策略？

注意：

1.囚犯依次进房间，进房间时以及进房间前后，都不能互相交流，包括什么暗示什么的都不能。

2.不能做任何记号，不允许把卡片拿出来或互换位置，哪怕是自己的号码。

3.每个囚犯进房间的时候，房间的布置是一模一样的。

 

 

 结论：概率约为 0.31183 。（推广到人数为n ，概率不低于 0.3 ）

　策略：置换群+不相交循环。

　该题目改编自：100 prisoners problem   思路为：https://www.zhihu.com/question/27050108

　

囚徒们提前商量编号，问题就转换了。以6个抽屉为例：

6个抽屉里的号码随机排序有6！=720种
能够正确的排序种类有如下几种情况：
1、所有6个号码对位（只有123456）=============1种情况
2、其中任意4个号码对位，另2个互换位置（比如123465）==C(6,4)=15种情况
3、其中任意3个号码对位，另3个互换位置（比如123564）==C(6,3)*2=40种情况
4、其中任意2个号码对位，另4个两两互换位置（比如124365）==C(6,2)*C(4,2)/2=45种情况
5、其中任意1个号码对位，另外任意两个互换位置，其余三个互换位置（比如132564）==C(6,1)*C(5,2)*2=120种情况
6、没有号码对位，分成两组，每组3个号码互换位置（比如231564）==C(6,3)/A(2,2)*2*2=40种情况
7、没有号码对位，分成三组，每组2个号码互换位置（比如214365）==C(6,2)*C(4,2)/A(3,3)=15种情况
共计：1+15+40+45+120+40+15=276种
成功的概率为276/720=23/60

 

因此100个也就是

情况1、循环长度为51数：A(100,49)*50！=100！/51！*50！=100！/51
情况2、循环长度为52数：A(100,48)*51！=100！/52！*51！=100！/52
情况3、循环长度为53数：100！/53
.......
情况50、循环长度为100数：100！/100
共计100！/51+100！/52+100！/53+.......+100！/100
即100！-（100！/51+100！/52+100！/53+.......+100！/100）能完成。
概率为1-1/51-1/52-1/53-......-1/100=0.311827821

 

amazing！！！ （例子源于：真正傲雪冰寒 ）