蓝桥杯-地宫取宝
问题描述X 国王有一个地宫宝库。是 n x m 个格子的矩阵。每个格子放一件宝贝。每个宝贝贴着价值标签。
地宫的入口在左上角，出口在右下角。
小明被带到地宫的入口，国王要求他只能向右或向下行走。
走过某个格子时，如果那个格子中的宝贝价值比小明手中任意宝贝价值都大，小明就可以拿起它（当然，也可以不拿）。
当小明走到出口时，如果他手中的宝贝恰好是k件，则这些宝贝就可以送给小明。
请你帮小明算一算，在给定的局面下，他有多少种不同的行动方案能获得这k件宝贝。输入格式输入一行3个整数，用空格分开：n m k (1<=n,m<=50, 1<=k<=12)
接下来有 n 行数据，每行有 m 个整数 Ci (0<=Ci<=12)代表这个格子上的宝物的价值输出格式要求输出一个整数，表示正好取k个宝贝的行动方案数。该数字可能很大，输出它对 1000000007 取模的结果。样例输入2 2 2
1 2
2 1样例输出2样例输入2 3 2
1 2 3
2 1 5样例输出14
解题思路：
dp+记忆化dfs。这题目类似于数字三角形问题。dp 的状态转移方程为
这题目最难理解的地方可能就是递归的出口
1、如果当前dp[i][j][k][v]之前就被访问过，直接返回值。
2、如果到达出口，判断是否已经拥有了k件物品，如果有，则不取，方案为1；判断是否有k-1件物品且要取的物品价值是否比所有的都大，如果是，方案为1；否则返回0。
AC代码：
1 #include<iostream>
2 #include<bits/stdc++.h>
3 #define MOD 1000000007
4 #define ll long long
5 using namespace std;
6 ll dp[60][60][105][20];
7 ll mp[60][60];
8 ll n,m,k;
9 ll dfs(ll i,ll j,ll num,ll max_value){
10 ll cnt=0;
11 if(dp[i][j][num][max_value]!=-1){
12 return dp[i][j][num][max_value]; //递归出口
13 }
14 if(i==n-1&&j==m-1){ //判断是否到达出口
15 if(num==k||(num==k-1&&mp[i][j]>max_value)){
16 dp[i][j][num][max_value]=1;
17 return dp[i][j][num][max_value];
18 }else{
19 dp[i][j][num][max_value]=0;
20 return dp[i][j][num][max_value];
21 }
22 }
23 if(i<n-1){
24 if(mp[i][j]>max_value){
25 cnt=(cnt+dfs(i+1,j,num+1,mp[i][j]))%MOD;
26 }
27 cnt=(cnt+dfs(i+1,j,num,max_value))%MOD;
28 }
29 if(j<m-1){
30 if(mp[i][j]>max_value){
31 cnt=(cnt+dfs(i,j+1,num+1,mp[i][j]))%MOD;
32 }
33 cnt=(cnt+dfs(i,j+1,num,max_value))%MOD;
34 }
35 dp[i][j][num][max_value]=cnt%MOD;
36 return dp[i][j][num][max_value];
37 }
38 int main(){
39 memset(dp,-1,sizeof(dp));
40 cin>>n>>m>>k;
41 for(ll i=0;i<n;i++){
42 for(ll j=0;j<m;j++){
43 scanf("%d",&mp[i][j]);
44 mp[i][j]++; //防越界
45 }
46 }
47 cout<<dfs(0,0,0,0)<<endl;
48 return 0;
49 }
