数论——逆元

逆元定义：对于正整数a，如果有a*x=1（mod m），那么把这个同余方程中的最小正整数解x叫做a模m的逆元。（同余方程不了解的话可以先自行百度）

（即a*x%m==1）

那么逆元有什么用？

通常情况下我们会碰到形如（A/B）%m的情况，显然（A/B）%m!=(A%m)/(B%m)。然而如果（A*B）%m=（A%m）*（B%m）。

如果我们将1/B转化为A*X的形式。那么X就是我们所要求的B在模m下的逆元！

下面讲四种求逆元的方法：

1：暴力求解

给定模m和需要求逆的数x，直接暴力枚举1~m-1
检查是否有x*i=1(mod m)，这种算法可以应用与写暴力、对拍、模数较小,求逆次数少的情况
时间复杂度O(m)

2：费马小定理：

限制条件：1、gcd（a，m）==1，即a，m互质。

　　　　　2、m为质数。

步骤：即，所以是a在模m下的逆元，用快速幂就可以得出结果。

附上一篇费马小定理分析的通俗易懂的博客https://www.cnblogs.com/linyujun/p/5194184.html

3：扩展欧几里得求逆元：（不会扩展欧几里得戳这里：http://www.cnblogs.com/ISGuXing/p/8379483.html）

使用条件：a，b互质。

由exgcd可知a*x+b*y=gcd(a,b)，因为a，b互质，所以gcd（a，b）=1。故有a*x+b*y=1。故a*x=1（mod b）。

4：欧拉定理求逆元：（欧拉定理求逆元具有普适性）

有点费马小定理的样子，后面的处理和费马小定理一样用快速幂。

 

欧拉定理不需要模数为质数的限制，因此会经常用于高阶次幂求逆元。