微分方程相关笔记

Basic微分方程

What is

形如\(F(x,y,y',...,y^{(n)})=0\)

求\(y=f(x,y)\)

阶：方程中导数的最高阶数

解：y=y(x)

通解：\(y=y(x,C_i)\),当参数C有n个（n为方程的阶）时，为通解

特解：略

变量可分离型求解

形如\(y'=f(x)g(y)\)

解法：

\[\frac{y'}{g(y)}=f(x)\\\int L=\int R\\ \int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx \]

转化为变量可分离型：

形如\(\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c)\)

解法：

\[u=ax+by+c\\ \frac{du}{dx}=a+b\frac{dy}{dx}\\ \frac{du}{dx}=a+bf(u)\\ \frac{du}{a+bf(u)}=dx\\ \int L=\int R \]

齐次微分方程：

形如\(\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})\)

解法：

\[u=\frac{y}{x}\\y'=(ux)'\\Tips:u=u(x)\\\frac{dy}{dx}=u+x\frac{du}{dx}\\u+x\frac{du}{dx}=\varphi(u)\\分离得\int\frac{du}{\varphi(u)-u}=\int\frac{dx}{x} \]

一阶线性微分方程

形如\(y'+p(x)y=q(x)\)

Key:\(p(x)\)的处理

Key:\((e^{\int p(x)dx})'=p(x)e^{\int p(x)dx}\)

BRN方程

\[y'+py=y^n \]

Key:Assign $z=y^{(1-n)}

Advanced更高阶的微分方程处理

解的结构

齐次:

\[y=C_1y_1+C_2y_2 \]

其中y1y2为互不相关的通解.

非齐次:

齐次的通解+非齐次的特解

基本情况的处理

1. 有y'',y',x的:Assign\(u=y'\)

2. 有y'',y',y的:Assign\(p=y',y''=\frac{dy}{dx}\cdot\frac{dp}{dy}=p\frac{dp}{dy}\)

一般情况的处理

齐次

形如

\[y''+py+qy=0 \]

有特征方程\(\lambda^2+p\lambda+q=0\)

针对该方程有几个处理方式:

1. \(\lambda\)有不同实数解时:通解为\(y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}\)

2. 有重根时\(y=(C_1+C_2x)e^{\lambda x}\)

3. 有虚数根\(\alpha\pm\beta i\)时\(y=e^{\alpha x}(C_1\sin\beta x+C_2\cos\beta x)\)

非齐次的特解

对于形如\(e^\lambda x\sum_m a_ix^i\)的附加项,有特解形式\(y^*=x^k\sum_m p_ix^ie^{\lambda x}\)

对于形如\(e^{\lambda x}(\sum_m a_ix^i\cos wx+\sum_n b_ix^i\sin wx)\)的,有特解形式\(y^*=x^k(\sum_{max(m,n)} u_ix^i\cos wx+\sum_{max(m,n)} v_ix^i\sin wx)\)

解释:

• k为重叠系数,即\(\lambda\)和特征方程的根有几个重叠的.

• \(\sum_m a_ix^i\)为最高次数为m的多项式.

• \(p_i,u_i,v_i\)是待定系数,需要带入方程求.