4.寻找两个正序数组的中位数
思路
原问题难以直接递归求解,所以我们先考虑这样一个问题:
在两个有序数组中,长度分别为n、m, 找出第k小数。
如果该问题可以解决,那么第 k = (n+m)/2 小数就是我们要求的中位数.
先从简单情况入手,假设 m,n ≥ k/2,我们先从 nums1 和 nums2 中各取前 k/2 个元素:
- 如果 nums1[k/2−1] > nums2[k/2−1],则说明 nums2 中的前 k/2 个元素一定都小于等于第 k 小数,所以我们可以先刨去这些数,将问题归约成在剩下的数中找第 k−⌊k/2⌋ 小数.
- 如果 nums1[k/2−1] ≤ nums2[k/2−1]],可说明 nums1 中的前 k/2 个元素一定都小于等于第 k 小数,同样可将问题的规模减少一半.
现在考虑边界情况,如果m<k/2,则我们从 nums1 中取m个元素,从nums2 中取 k/2 个元素(由于 k=(n+m)/2,因此 m,n 不可能同时小于 k/2.):
-
如果 nums1[m−1]>nums2[k/2−1],则 nums2 中的前 k/2 个元素一定都小于等于第 k 小数,我们可以将问题归约成在剩下的数中找第 k−⌊k/2⌋ 小数.
-
如果 nums1[m−1]≤nums2[k/2−1],则 nums1 中的所有元素一定都小于等于第 k 小数,因此第k小数是 nums2[k−m−1].
时间复杂度分析
:k=(m+n)/2,且每次递归 k 的规模都减少一半,因此时间复杂度是 O(log(m+n)).
class Solution {
public:
double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
int total = nums1.size() + nums2.size();
if (total % 2 == 0){
int left = findKthNumber(nums1, 0, nums2, 0, total / 2);
int right = findKthNumber(nums1, 0, nums2, 0, total / 2 + 1);
return (left + right) / 2.0;
}else{
return findKthNumber(nums1, 0, nums2, 0, total / 2 + 1);
}
}
//这里指的是第K个数,而不是下标为K的数,比如1 2 3 4, 1是第1个数..以此类推
int findKthNumber(vector<int> &nums1, int i, vector<int> &nums2, int j, int k){
//令num1总是较短的那一个
if (nums1.size() - i > nums2.size() - j) return findKthNumber(nums2, j, nums1, i, k);
//如果nums1走到了头,那nums2[j+k-1]就是中位数
if (nums1.size() == i) return nums2[j + k - 1];
//如果走到了答案所在位置,返回nums1[i]和nums[j]中相对小的那一个
if (k == 1) return min(nums1[i], nums2[j]);
// 每次淘汰K/2个数
//找到nums1和nums2分别的中点,需要注意的是num1的长度可能小于k/2,所以i+k/2可能越界,需要取min值
int si = min(i + k / 2, int(nums1.size())), sj = j + k / 2;
if (nums1[si - 1] > nums2[sj - 1])
return findKthNumber(nums1, i, nums2, sj, k - k / 2);
else
return findKthNumber(nums1, si, nums2, j, k - (si - i));
}
};
Q1、if (nums1[si - 1] > nums2[sj - 1])
寻找第k个最小的数,给出的是从1开始的下标,但是实际数组下标从0开始,因此需要减1
比如: 1 2 3 4 5 6
第3小的数是3,下标是2