单源最短路径基础算法总结
N:端点数 M:边数
1.Dijkstra
dist[1] = 0, dist[i] = +∞
for i ← 1 to n
t ← 不在s中的距离最近的点
s ← t
用t更新其他点的距离
时间复杂度分析
dist[1] = 0, dist[i] = +∞
for i ← 1 to n
t ← 不在s中的距离最近的点 O(n^2)
s ← t n次
用t更新其他点的距离 m次
朴素版的时间复杂度是\(O(n^2)\)
dist[1] = 0, dist[i] = +∞
for i ← 1 to n
t ← 不在s中的距离最近的点 O(1)
s ← t n次
用t更新其他点的距离 m * log^n
堆优化版时间复杂度是\(mlog^n\)
Q：为什么处理不了负数
因为Dijkstra每轮都要确定一个端点的最终最短路径，而如果存在负权边，那路径可能是需要拐弯的
比如，有以下边，由A出发，求A -> C的最短路
A -> B: 4
A -> C: 5
B -> C: -1
Dijkstra求出结果必然是 A -> C: 5，而实际结果是 A -> B -> C: 3
Q： 为什么边权都是正数时，不存在此问题
边权都是正数时，所有端点的最短路都是对着走到路径的增多不断增大的，因此不存在绕路走反而更近的情况，因此不存在此问题
2.Bellman-Ford
BF算法执行k轮的含义： 经过不超过K条边到达其他点的最短距离
存储下所有边M
置所有点的距离为无穷，dis[1] = 0
- 每轮循环尝试所有边，看能否对dis数组进行更新
- 如果有N条边，那么理论上更新N - 1次就能得到所有
3.SPFA
在Bellman-Ford基础上改进，Bellman_Ford每轮尝试使用所有边进行更新，而SPFA只使用上一轮更新过的点进行向后更新。
4.求负权回路
方法一 Bellman-Ford
BF算法执行k次的意思是，经过不超过K条边，到达其他点的最短距离，因此理论上说，假设图有N个点，那么执行N - 1轮，dis存储的就是所有的点的最短路，如果此时dis在执行一轮，仍然可以更新，那么就必然存在
方法二 SPFA
在SPFA基础上，设置一个cnt数组，存储每个点被更新的次数，理论上任意一个点被更新次数最多就是N-1，如果更新次数≥N，那必然是存在负权回路
