耍杂技的牛

题目描述

农民约翰的 \(N\) 头奶牛（编号为 \(1..N\)）计划逃跑并加入马戏团，为此它们决定练习表演杂技。

奶牛们不是非常有创意，只提出了一个杂技表演：

叠罗汉，表演时，奶牛们站在彼此的身上，形成一个高高的垂直堆叠。

奶牛们正在试图找到自己在这个堆叠中应该所处的位置顺序。

这 \(N\) 头奶牛中的每一头都有着自己的重量 \(W_i\) 以及自己的强壮程度 \(S_i\)。

一头牛支撑不住的可能性取决于它头上所有牛的总重量（不包括它自己）减去它的身体强壮程度的值，现在称该数值为风险值，风险值越大，这只牛撑不住的可能性越高。

您的任务是确定奶牛的排序，使得所有奶牛的风险值中的最大值尽可能的小。

输入格式

第一行输入整数 \(N\)，表示奶牛数量。

接下来 \(N\) 行，每行输入两个整数，表示牛的重量和强壮程度，第 i 行表示第 i 头牛的重量 \(W_i\) 以及它的强壮程度 \(S_i\)。

输出格式

输出一个整数，表示最大风险值的最小可能值。

数据范围

\(1≤N≤50000\),
\(1≤Wi≤10,000\),
\(1≤Si≤1,000,000,000\)

输入样例：

3
10 3
2 5
3 3

输出样例：

2

算法思路

假设牛按照初始顺序堆叠起来，从上到下编号依次为1、2、3、4.......

不失一般性地取出其中两头牛\(i、i+1\)，对于这两头相邻的牛，存在以下性质

性质1：如果\(W_{i+1}+S_{i+1} < W_i + S_i\)，那么将两头牛更换位置，整个堆叠的最大危险值不会比更换前更大

证明：\(max(i) \ge max(i+1)\)

	i处危险值	i+1处危险值	最大风险值
交换前	\(W_1+W_2+...+W_{i-1}-S_i\)	\(W_1+W_2+...+W_i-S_{i+1}\)	\(max(I)\)
交换后	\(W_1+W_2+...+W_{i-1}-S_{i+1}\)	\(W_1+W_2+...+W_{i-1}+W_{i+1}-S_i\)	\(max(I+1)\)

证明步骤

1、对比交换前i+1处危险值和交换后i处危险值，可知交换前的比交换后的多一个\(W_i\)，由题知：\(W_i \ge 1\),所以可得\(交换后i处危险值 \le 交换前i+1处危险值\)

2、再对比交换前i+1处危险值和交换后i+1处危险值，可知两者差异为\(W_i-S_{i+1}\)和\(W_{i+1}-S_i\),又由前提知\(W_{i+1}+S_{i+1} < W_i + S_i\)，交换可得\(W_{i+1}-S_i < W_i - S_{i+1}\),所以可知\(交换后i+1处危险值 \le 交换前i+1处危险值\)

3、又因为\(交换前i+1处危险值 \le max(i)\)，且\(max(i+1) = 换后i处或i+1处危险值\)，因此\(max(i+1) \le max(i)\)

得证

又因为假如存在一个最优解不满足\(W_{i+1}+S_{i+1} > W_i + S_i\)性质，那么根据性质1，必然可以对其进行调节交换，使其形成的堆叠最终满足这个性质，而且最大危险值不会变大

有了这个性质，我们就可以根据\(W_i+S_i\)的值，对整个堆叠进行排序，最终按照这个值从小到大排成堆叠就是一个最优解

代码实现

#include<iostream>
#include<algorithm>

using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;

const int N = 5e4 + 10;

PII a[N];
int n;

int main(){
    cin >> n;
    for(int x = 0; x < n; x++){
        int w, s;
        cin >> w >> s;
        a[x] = {w + s, w};
    }
    sort(a, a + n);
    int ans = -1e9, weight = 0;
    for(int x = 0; x < n; x++){
        auto c = a[x];
        ans = max(ans, weight - c.first + c.second);
        weight += c.second;
    }
    cout << ans;
}