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问题描述：

一个数的序列bi，当b1 < b2 < ... < bS的时候，我们称这个序列是上升的。对于给定的一个序列(a1, a2, ..., aN)，我们可以得到一些上升的子序列(ai1, ai2, ..., aiK)，这里1 <= i1 < i2 < ... < iK <= N。比如，对于序列(1, 7, 3, 5, 9, 4, 8)，有它的一些上升子序列，如(1, 7), (3, 4, 8)等等。这些子序列中最长的长度是4，比如子序列(1, 3, 5, 8).

你的任务，就是对于给定的序列，求出最长上升子序列的长度。

解法1：

时间复杂度O(n^2);

/*
dp[i]：以a[i]结尾的字符串长度；
有两种可能性；
1.只包含a【i】
2.附加到j<i&&a[j]<a[i],那么dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i])
*/

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int MAXN=100000;
const int INF=1<<30;

int a[MAXN];
int dp[MAXN];  //代表以a【i】为结尾的序列的长度。

int main(){
    int n;  //代表序列的个数
    while(scanf("%d",&n)!=EOF){
        for(int i=0;i<n;i++)
            scanf("%d",&a[i]);

        memset(dp,0,sizeof(dp));

        int ans=-INF;
        for(int i=0;i<n;i++){
            dp[i]=1;  //这是只有a[i];
            for(int j=0;j<i;j++)
                if(a[j]<=a[i])
                    dp[i]=max(dp[j]+1,dp[i]);
            ans=max(ans,dp[i]);

        }
        cout<<ans<<endl;
    }
}

方法二：

时间复杂度：O（nlgn）

/*
dp[i]:长度为i+1的上升子序列中末尾的最小值：
很明显长度i的子序列，其dp【i]越小，其在后面越占优势，而如何来更新dp【i】的值呢
上面一个算法，在查找的浪费了大量的时间，
这儿的dp数组的值明显是单调递增的。可以用二分搜索来查找，就可以把整个算法的时间复杂度，降低为O(nlgn);
*/

int bSearch(int num, int k)  
{  
    int low=1, high=k;  
    while(low<=high)  
    {  
        int mid=(low+high)/2;  
        if(num>=dp[mid])  
            low=mid+1;  
        else   
            high=mid-1;  
    }  
    return low;  
}  
 
int LIS()
{
    int low = 1, high = n;
    int k = 1;
    dp[1] = a[1];
    for(int i=2; i<=n; ++i)
    {
        if(a[i]>dp[k])
            dp[++k] = a[i];
        else
        {
            int pos = bSearch(a[i], k);
            dp[pos] = a[i];
        }
    }
    return k;
}

void solve(){
    fill(dp,dp+n,INF);
    for(int i=0;i<n;i++)
        *lower_bound(dp,dp+n,a[i])=a[i];   //这是找到dp[i]>=a[i]的最小只真
    printf("%d\n",lower_bound(dp,dp+n,INF)-dp);
}