每日一题 - 11. 旋转数组的最小数字
题目信息
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时间： 2019-07-23
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题目链接：Leetcode
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tag： 二分查找
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难易程度：简单
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题目描述：
把一个数组最开始的若干个元素搬到数组的末尾，我们称之为数组的旋转。输入一个递增排序的数组的一个旋转，输出旋转数组的最小元素。例如，数组 [3,4,5,1,2] 为 [1,2,3,4,5] 的一个旋转，该数组的最小值为1。
示例1:
输入：[3,4,5,1,2]
输出：1
示例2:
输入：[2,2,2,0,1]
输出：0
解题思路
本题难点
排序数组的旋转，找到旋转点，性能最佳。
具体思路
寻找旋转数组的最小元素即为寻找 右排序数组 的首个元素 numbers[x] ，称 x为 旋转点 。
排序数组的查找问题首先考虑使用 二分法 解决，其可将遍历法的 线性级别 时间复杂度降低至 对数级别 。
- 循环二分：
- 当 numbers[m] > numbers[j]时： m 一定在 左排序数组 中，即旋转点 x 一定在 [m+1,j] 闭区间内，因此执行 i=m+1；
- 当 numbers[m] < numbers[j] 时：m 一定在 右排序数组 中，即旋转点 x 一定在[i,m] 闭区间内，因此执行 j=m；
- 当 numbers[m] == numbers[j] 时： 无法判断 m 在哪个排序数组中，即无法判断旋转点 x 在 [i,m] 还是 [m+1,j] 区间中。解决方案： 执行 j=j−1 缩小判断范围 。
展开分析 numbers[m] == numbers[j] 情况：
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无法判定 m 在左（右）排序数组： 设以下两个旋转点值为 0 的示例数组，则当 i=0, j=4 时 m=2 ，两示例结果不同。
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例 [1,0,1,1,1] ：旋转点 x=1 ，因此 m=2 在 右排序数组 中。
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例 [1,1,1,0,1] ：旋转点 x=3 ，因此 m=2 在 左排序数组 中。
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j=j−1 操作的正确性证明：只需证明每次执行此操作后，旋转点 x 仍在 [i,j] 区间内即可。
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若 m 在右排序数组中： numbers[m] == numbers[j] ，因此数组 [m,j]（恒有 m<j）区间内所有元素值相等，执行 j=j−1 只会抛弃一个重复值，因此旋转点 x 仍在 [i,j] 区间内。
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若 m 在左排序数组中： 由于 左排序数组 任一元素 >= 右排序数组 任一元素 ，因此可推出旋转点元素值 numbers[x] <= numbers[j] == numbers[m]，则有：
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若 numbers[x] < numbers[j] ： 即 j 左方仍有值更小的元素，执行 j=j−1 后旋转点 x 仍在 [i,j] 区间内。
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若
numbers[x] == numbers[j]： 分为以下两种情况。当 j>xj>x ： 易得执行 j=j−1j=j−1 后旋转点 xx 仍在 [i,j] 区间内。
当 j=x： 特殊情况，即执行 j=j−1 后旋转点 x 可能不在 [i,j] 区间内。例如 [1,1,1,2,3,1] ，当 i=0 , m=2 , j=5 时执行 j=j−1 后虽然 丢失了旋转点索引 x=5 ，但最终返回值仍正确（最终返回的 numbers[0] 等于旋转点值 numbers[5] ），这是因为：之后的二分循环一直在执行 j=m ，而区间 [i,m] 内的元素值一定都等于旋转点值 numbers[x] （ ∵ 区间内元素值既要满足 ≥ 也要满足 ≤ numbers[x]） ，因此 仍可保证正确的返回值 。
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提示 是否可以用
numbers[m]和numbers[i]比较做代替？不可以。因为做比较的目的是判断 m 在哪个排序数组中。但在 numbers[m] > numbers[i]情况下，无法判断 m 在哪个排序数组中。本质是因为 j 初始值肯定在右排序数组中； i 初始值无法确定在哪个排序数组中。
代码
class Solution {
public int minArray(int[] numbers) {
int l = 0;
int r = numbers.length-1;
while(l < r){
int mid = (l + r)/2;
if(numbers[mid] > numbers[r]){
l = mid + 1;
}else if(numbers[mid] < numbers[r]){
r = mid;
}else{
r--;
}
}
return numbers[l];
}
}
复杂度分析：
- 时间复杂度 O(logN) ： 在特例情况下（例如 [1,1,1,1]），会退化到 O(N)。
- 空间复杂度 O(1) ： i , j , m指针使用常数大小的额外空间。
