哥德尔不完备定理证明

0. 哥德尔不完备定理

每个数学系统都存在一些语句永远无法被证明.

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1. 哥德尔数

\(\hspace{0.1cm}\)符号\(\hspace{0.1cm}\)	\(\hspace{0.1cm}\)哥德尔数\(\hspace{0.1cm}\)	\(\hspace{0.1cm}\)含义\(\hspace{0.1cm}\)
\(\sim\)	\(1\)	非
\(\vee\)	\(2\)	或
\(\supset\)	\(3\)	如果 \(\cdots\) 则 \(\cdots\)
\(\exists\)	\(4\)	存在
\(=\)	\(5\)	等于
\(0\)	\(6\)	零
\(s\)	\(7\)	后继
\((\)	\(8\)	标点符号
\()\)	\(9\)	标点符号
\(,\)	\(10\)	标点符号
\(+\)	\(11\)	加
\(\times\)	\(12\)	乘
\(x\)	\(13\)	变量
\(y\)	\(17\)	变量
\(z\)	\(19\)	变量

比如说公式 \(0=0\)，

它的每一位哥德尔数分别是：

\(6\hspace{0.2cm}5\hspace{0.2cm}6\) （作指数）

给这三位分别分配一个质数：

\(2\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}5\) （作底数）（当位数更多时以此类推）

所以公式 \(0=0\) 的哥德尔数是 \(2^6\times 3^5\times 5^6\)，也就是 \(243000000\).

如果我们得知哥德尔数 \(243000000\)，

那么我们可以对它进行唯一的分解质因数，得到 \(2^6\times 3^5\times 5^6\)，

因此，一个公式只能对应一个哥德尔数，一个哥德尔数只能对应一个公式.

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众所周知，数学证明可能需要多个公式组合在一起，

举一个十分简单的例子：

\(x=0\)

\(y=s0\)

\(y=sx\)

我们要先根据上述基础部分，得出这三个公式的哥德尔数，

\(x=0\hspace{0.5cm}\to\hspace{0.5cm}2^{13}\times 3^5\times 5^6\)

\(y=s0\hspace{0.5cm}\to\hspace{0.5cm}2^{17}\times 3^5\times 5^7\times 7^6\)

\(y=sx\hspace{0.5cm}\to\hspace{0.5cm}2^{17}\times 3^5\times 5^7\times 7^{13}\)

然后再给每个公式分配一个质数：\(2\hspace{0.2cm}3\hspace{0.2cm}5\).

所以，这段数学证明的哥德尔数是：

\(2^{2^{13}\times 3^5\times 5^6}\times 3^{2^{17}\times 3^5\times 5^7\times 7^6}\times 5^{2^{17}\times 3^5\times 5^7\times 7^{13}}\)

这是一个极大的数.

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2. \(\textbf{sub(\textit{a},\textit{b},\textit{c})}\)

哥德尔的想法是，他可以用公式本身的哥德尔数代入到公式中，从而产生无穷无尽的麻烦.

我们可以考虑公式 \((\exists x)(x=sy)\)，它的意思是“存在 \(x\)，使得 \(x\) 是 \(y\) 的后继”，简而言之就是“\(y\) 有后继”.

假设它的哥德尔数为 \(m\).

而现在，我们定义一个 \(\text{sub}\) 函数：

\(\text{sub}(a,b,c)\) 表示在一个哥德尔数为 \(a\) 的命题中，找到所有哥德尔数为 \(c\) 的符号，将其替换为 \(b\).

于是我们可以把刚刚的哥德尔数为 \(m\) 的公式做这样的操作：

\(\text{sub}(m,m,17)\) 表示把哥德尔数为 \(m\) 的公式中，哥德尔数为 \(17\) 的符号（就是 \(y\)）替换为 \(m\).

也就是这段公式：

\((\exists x)(x=sm)\)

它表示“\(m\) 有后继”.

接下来，有了这些条件，我们的证明就要开始了.

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3. 证明

我们先假设有这样一个命题：“哥德尔数是 \(\textbf{sub(\textit{y},\textit{y},17)}\) 的命题无法证明”.

它的哥德尔数为 \(n\).

然后，我们再来考虑这样一个命题：“哥德尔数是 \(\textbf{sub(\textit{n},\textit{n},17)}\) 的命题无法证明”.

那么什么是哥德尔数是 \(\textbf{sub(\textit{n},\textit{n},17)}\) 的命题呢？

我们根据 \(\text{sub}\) 函数的定义，找到哥德尔数是 \(n\) 的命题，它就是：

哥德尔数是 \(\textbf{sub(\textit{y},\textit{y},17)}\) 的命题无法证明.

然后，我们找到这个命题中哥德尔数为 \(17\) 的符号（就是 \(y\)）.

哥德尔数是 \(\textbf{sub(\textit{\colorbox{red}{\colorbox{white}{y}}},\textit{\colorbox{red}{\colorbox{white}{y}}},17)}\) 的命题无法证明.

现在，将它们替换为 \(n\) 这个数字，也就是，这个命题变成了：

哥德尔数是 \(\textbf{sub(\textit{\colorbox{green}{\colorbox{white}{n}}},\textit{\colorbox{green}{\colorbox{white}{n}}},17)}\) 的命题无法证明.

于是，一个很神奇的事情就发生了：

\(\text{sub}(n,n,17)\) 代表的命题就是“哥德尔数是 \(\text{sub}(n,n,17)\) 的命题无法证明”

所以，这个命题说自己是无法证明的.

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我们再来好好分析一下：

我们假设“哥德尔数是 \(\text{sub}(n,n,17)\) 的命题无法证明”是一个假命题，那么它的反面一定是一个真命题.

而它的反面是“哥德尔数是 \(\text{sub}(n,n,17)\) 的命题可以证明”.

所以，我们得知了哥德尔数是 \(\text{sub}(n,n,17)\) 的命题可以证明.

而哥德尔数是 \(\text{sub}(n,n,17)\) 的命题是啥呢？

它就是“哥德尔数是 \(\text{sub}(n,n,17)\) 的命题无法证明”，我们推出了它可以证明，那么它一定是一个真命题（只有真命题可以被证明）.

但是这就矛盾了，一开始我们假设“哥德尔数是 \(\text{sub}(n,n,17)\) 的命题无法证明”是一个假命题，现在又推出它是一个真命题.

这只能说明原来的假设是错误的，所以“哥德尔数是 \(\text{sub}(n,n,17)\) 的命题无法证明”是一个真命题.

而这个命题说的就是自己无法证明，所以，这是一个\({\color{red}\textbf{真却无法证明}}\)的命题.

于是我们就证明了最初我们说的“每个数学系统都存在一些语句永远无法被证明”.

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这就是哥德尔第一不完备定理.