【题解】CF1748D ConstructOR

前言

这道题十分诈骗，比赛的时候以为是根据二进制除法原理，解同余方程，然后考试时候就没做出来QAQ。

这篇题解是构造解法，至于官方题解是啥我也不知道，看这官方题解的性质十分诡异。 （其实就是我英语不好看不懂）

题面

题目描述

You are given three integers $ a $ , $ b $ , and $ d $ . Your task is to find any integer $ x $ which satisfies all of the following conditions, or determine that no such integers exist:

• $ 0 \le x \lt 2^{60} $ ;
• $ a|x $ is divisible by $ d $ ;
• $ b|x $ is divisible by $ d $ .

Here, $ | $ denotes the bitwise OR operation.

题面翻译

给定正整数 \(a,b,d\)，求一个正整数 \(x\) 使得 \(d\mid(a\operatorname{or}x)\) 且 \(d\mid(b\operatorname{or}x)\)，其中 \(\operatorname{or}\) 表示按位或运算。

数据范围

多组输入

\[1\le T\le 10^4,1\le a,b,d\le 2^{30} \]

思路

由于 \(x\) 必须满足

• $ a|x $ is divisible by $ d $ ;
• $ b|x $ is divisible by $ d $ .

所以显然的，如果当前存在解，那么一定存在一个 \(x\) 使得 \(x\) 包含 \(a|b\) 且 \(x\) 可以被 \(d\) 整除。即

• \(x|(a|b)=x\) 且 \(x\) is divisible by $ d $

考虑无解情况

因为 \(x\) 必须被 \(d\) 整除 且 \(x|(a|b)=x\)，所以如果 \(a|b\) 的最低位如果比 \(d\) 的最低位还低，那么 \(x\) 则无法被 \(d\) 整除，该情况无解。

考虑如何让 \(x\) 被 \(d\) 整除

首先我们让 \(x=0\) 设 \(c=a|b\) ，进行这么一个操作：

• 每次找到他们二进制最低位 \(i\)，使得 \(x\) 的 \(i\) 位为 \(0\) 且 \(c\) 的 \(i\) 位为 \(1\)。

• 然后将 \(d\) 移动一定位数使得 \(d\) 的最低为 \(1\) 与 \(x\) 的 \(i\) 位对其，然后 \(x=x+d\)。

显然的，二进制高位的操作无法堆低位产生影响，所以，这样进行若干次操作后，就可以得到一个满足以条件的 \(x\)。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int T;
int a,b,d;
signed main(){
    cin>>T;
    while(T--){
        cin>>a>>b>>d;
        int c=(a|b);
        int cnt=0;
        int x=0;
        bool flag=false;
        while(!(d&1)){//为了方便以下操作，我们将d的最低位1与0位对其
            if(c&1){//a|b的最低位1比d的最低位1还低，满足无解情况
                puts("-1");
                flag=true;
                break;
            }
            c>>=1;d>>=1;
            ++cnt;//记录对其所右移的次数，输出答案时需要移回去
        }
        if(flag) continue;
        for(int i=0;i<=30&&c;++i){
            if((c&1)&&!((x>>i)&1)){//找到他们二进制最低位 i，使得 x 的 i 位为 0 且 c 的 i 位为 1。
                x+=(d<<i);//将d的最低为1与i位对其
            }
            c>>=1;
        }
        cout<<(x<<cnt)<<endl;
    }
    return 0;
}