浅谈BSGS和EXBSGS

我的 BSGS 和各位犇犇的差不多，但是不需要求逆元

Luogu [ TJOI2007 ] 可爱的质数

原题展现

题目描述

给定一个质数 \(p\)，以及一个整数 \(b\)，一个整数 \(n\)，现在要求你计算一个最小的非负整数 \(l\)，满足 \(b^l \equiv n \pmod p\)。

输入格式

仅一行，有 \(3\) 个整数，依次代表 \(p, b, n\)。

输出格式

仅一行，如果有 \(l\) 满足该要求，输出最小的 \(l\)，否则输出 no solution。

样例 #1

样例输入 #1
5 2 3
样例输出 #1
3

数据规模与约定

  • 对于所有的测试点，保证 \(2\le b,n < p<2^{31}\)。

Baby Steps Giant Steps 详解

注意到互质，根据欧拉定理，我们易得\(l< p\)，枚举的时间复杂度为\(O(p)\)

其实可以优化到\(O(\sqrt{p})\)，设 \(m=\lceil \sqrt{p}\rceil,r=b\%m\)

于是我们可以将 原式写成

\[b^{km+r}\equiv n(mod\;p)\\ b^{km}\equiv nb^{-r}(mod\;p) \]

右边好像要求逆元啊，我们不想求逆元，怎么办呢？

只需将式子改成

\[b^{km-r}\equiv n(mod\;p)\\ b^{km}\equiv nb^{r}(mod\;p) \]

解决了问题

我们考虑找到一个 \(k\) 和 一个 \(r\) 使得上述式子成立，这个并不难

首先枚举 \(r\) ，显然有 \(r(1\leq r\leq m)\) 注意这里和广大打法不同

因为广大打法是枚举余数，这里枚举的是相反的

然后把右边式子的值哈希存下，枚举左边的 \(k(1\leq k \leq m)\)

对于左边枚举求出的值看看哈希数组是否存在对应的右边的值，如果有，那么就是一个解

搞出一个最小的解好像也不是很难吧.....

时间复杂度 \(O(m)\) ，也就是 \(O(\sqrt{p})\)

然后注意一下，要打很多特判

上一下码风巨丑的代码

inline ll ksc(ll x, ll y, const ll& p) { return (x * y - (ll)((long double)x / p * y) * p + p) % p; }
vector<pair<ll, int> > v[ 100013];
inline ll BSGS(ll a, ll b, const ll&p) {
        if (b == 1) {
        if (a == 0)
            return -1;
        return 1;
    }
    if (b == 0) {
        if (a == 0)
            return 1;
        return -1;
    }
    if (a == 0) {
        return -1;
    }
    ll m = ceil(sqrt(p)), cnt = 1, res = 1;
    for (int r = 1; r <= m; r++) {
        cnt = ksc(cnt, a, p);//这个龟速乘不是龟速乘
        v[(ksc(cnt, b, p)) % mod].push_back(make_pair(ksc(cnt, b, p), r));
    }
    for (int k = 1; k <= m; k++) {
        res = ksc(cnt, res, p);
        ll id=res%mod;
        if (v[id].size())
        {
            for (int j = v[id].size() - 1; j >= 0; j--)
            {
                if (v[id][j].first ==res)
                {
                    return m * k - v[id][j].second; 
                }                
            }                           
        }
    }
    return -1;
}

SPOJ3105 MOD

原题展现

题目描述

给定 \(a,p,b\)，求满足 \(a^x≡b \pmod p\) 的最小自然数 \(x\) 。

输入格式

每个测试文件中包含若干组测试数据，保证 \(\sum \sqrt p\le 5\times 10^6\)。

每组数据中，每行包含 \(3\) 个正整数 \(a,p,b\) 。

当 \(a=p=b=0\) 时，表示测试数据读入完全。

输出格式

对于每组数据，输出一行。

如果无解，输出 No Solution，否则输出最小自然数解。

样例 #1

样例输入 #1
5 58 33
2 4 3
0 0 0
样例输出 #1
9
No Solution

数据范围

对于 \(100\%\) 的数据，\(1\le a,p,b≤10^9\) 或 \(a=p=b=0\)。

扩展 Baby Steps Giant Steps 详解

注意到不互质，那我们就要想办法让它互质

\[a^x\equiv b(mod\;p)\\ a^x-kp=b\\ 设 d=gcd(a,p)\\ 若 d|b 不成立，则无解\\ 式子除 d 得 a^{x-1}\frac a d- k\frac p d=\frac b d\\ 改记为a^{x-1}a'- kp'=b'\\ 即 a^{x-1}a'\equiv b'(mod\; p') \]

如此反复，直到互质为止，差不多就是

\[a^{x-cnt}a'\equiv b'(mod\; p') \]

注意，操作时如果两边值相等了，答案就是 \(cnt\)

然后就是个普通 BSGS ,变了一点点，左边需要乘上 \(a'\)，其他都是一模一样的

求出答案之后答案要加上 \(cnt\) ,因为我们求出的是 \(x-cnt\)

本题时限高达 4s ，就算不写哈希用 map 也能通过

参考如下实现

vector<pair<ll, int> > v[ 1000013];
int vis[1000003];
inline ll exBSGS(ll a,ll b,ll p)
{
    memset( vis,0,sizeof(vis));
    if(p==0)return -1;
    if(p==1)
    {
        if(b==0)return 0;
        return -1;
    }
    if (b == 1) {
        if (a == 0)
            return -1;
        return 1;
    }
    if (b == 0) {
        if (a == 0)
            return 1;
        return -1;
    }
    if (a == 0) {
        return -1;
    }
    ll ak=0,t=1,d=gcd(a,p);
    while(d!=1)
    {
        ak++;
        t*=a;
        t/=d;
        p/=d;
        if(b%d!=0)return -1;
        b/=d;
        if(t%p==b%p)return ak;
        d=gcd(a,p);
        t%=p;
    }
    ll m = ceil(sqrt(p)), res=t%p,cnt=1;
    
    for (int r = 1; r <= m; r++) {
        cnt = ksc(cnt, a, p);
        ll hash=(ksc(cnt, b, p)) % mod;
        if(vis[hash]==0)
        {
            vis[hash]=1;
            v[hash].clear();
        }
        v[hash].push_back(make_pair(ksc(cnt, b, p), r));
    }
    for (int k = 1; k <= m; k++) {
        res = ksc(cnt, res, p);
        ll hash=res%mod;
        if (vis[hash])
        {
            for (int j = v[hash].size() - 1; j >= 0; j--)
            {
                if (v[hash][j].first ==res)
                {
                    return m * k - v[hash][j].second+ak; 
                }                
            }                           
        }
    }
    return -1;
}

大部分 BSGS 题都很明显，随便挑了几道

P4884 多少个 1？

原题展现

题目描述

给定整数 \(K\) 和质数 \(m\)，求最小的正整数 \(N\)，使得 \(11\cdots 1\)（\(N\) 个 \(1\)）\(\equiv K \pmod m\)。

说人话：就是 \(111\cdots 1111 \bmod m = K\)。

输入格式

第一行两个整数，分别表示 \(K\) 和 \(m\)。

输出格式

一个整数，表示符合条件最小的 \(N\)。

样例 #1

样例输入 #1
9 17
样例输出 #1
3

提示

\(30\%\) 的数据保证 \(m\leq 10^6\)。

\(60\%\) 的数据保证 \(m\leq 5\times 10^7\)。

\(100\%\) 的数据保证 \(6\leq m\leq 10^{11}\)，\(0< K< m\)，保证 \(m\) 是质数。

解法

将式子乘九，再加一，得到一个式子

\[10^{N+1}=9*k+1(mod\; m) \]

然后 BSGS 即可

[SDOI2013] 随机数生成器

原题展现

题目背景

小 W 喜欢读书，尤其喜欢读《约翰克里斯朵夫》。

题目描述

最近小 W 准备读一本新书，这本书一共有 \(p\) 页，页码范围为 \(0 \sim p-1\)。

小 W 很忙，所以每天只能读一页书。为了使事情有趣一些，他打算使用 NOI2012 上学习的线性同余法生成一个序列，来决定每天具体读哪一页。

我们用 \(x_i\) 来表示通过这种方法生成出来的第 \(i\) 个数，也即小 W 第 \(i\) 天会读哪一页。这个方法需要设置 \(3\) 个参数 \(a,b,x_1\)，满足 \(0\leq a,b,x_1\lt p\)，且 \(a,b,x_1\) 都是整数。按照下面的公式生成出来一系列的整数：

\[x_{i+1} \equiv a \times x_i+b \pmod p \]

其中 \(\bmod\) 表示取余操作。

但是这种方法可能导致某两天读的页码一样。

小 W 要读这本书的第 \(t\) 页，所以他想知道最早在哪一天能读到第 \(t\) 页，或者指出他永远不会读到第 \(t\) 页。

输入格式

本题单测试点内有多组测试数据。

第一行是一个整数 \(T\)，表示测试数据组数。

接下来 \(T\) 行，每行有五个整数 \(p, a, b, x_1, t\)，表示一组数据。

输出格式

对于每组数据，输出一行一个整数表示他最早读到第 \(t\) 页是哪一天。如果他永远不会读到第 \(t\) 页，输出\(-1\)。

样例 #1

样例输入 #1
3
7 1 1 3 3
7 2 2 2 0
7 2 2 2 1
样例输出 #1
1 
3 
-1

提示

对于全部的测试点，保证：

  • \(1 \leq T \leq 50\)。
  • \(0 \leq a, b, x_1, t \lt p\)，\(2 \leq p \leq 10^9\)。
  • \(p\) 为质数。

解法

推式子，我还没做，等几天吧...

posted @ 2022-05-28 12:40  DengDuck  阅读(400)  评论(0)  编辑  收藏  举报