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树与图的DFS与BFS 树与图的DFS与BFS DFS BFS 首先，树是一种特殊结构的图，所以树与图的存储是相同的，而图又分为有向图与无向图，对无向图我们可以在两个点之间添加两条边。 有向图的存储方式主要有两种 稀疏图（点多边少）一般用邻接表存储 稠密图（点少边多）一般用邻接矩阵存储。 在邻接表的 阅读全文
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宽度优先搜索 BFS 宽度优先搜索 BFS 走迷宫 八数码 宽度优先搜索每次扩展当前结点的所有相邻结点，所以需要一个队列来维护要扩展的结点。由于宽度优先搜索每次都是把所有能到的下一步搜完，所以能够得到最短路径的解，所以一些不带权求最短路径的问题也可以直接用BFS解决。 注意，在扩展结点的某个下一结点 阅读全文
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深度优先搜索DFS 深度优先搜索DFS 排列数字 n-皇后问题 按位搜索 按行搜索 深度优先搜索的思想简单来说就是“一条道走到黑”，也被称为“暴力搜索”，常用于解决需要给出所有方案的问题，因为它的搜索顺序就是能够得到一个完整的搜索路径（方案）后回溯再去搜索其它的方案。 排列数字 题目链接：AcWin 阅读全文
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哈希表（Hash） 哈希表（Hash） 拉链法（开散列） 开放寻址法 字符串哈希 Hash 表又称为散列表，一般由 Hash 函数（散列函数）与链表结构共同实现。与离散化思想类似，当我们要对若干复杂信息进行统计时，可以用 Hash 函致把这些复杂信息映射到一个容易维护的值城内。因为值域变简单、范围变 阅读全文
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堆 堆是一种数据结构，主要包含以下操作： 插入一个数：将该数插到最后的位置，进行一次up操作 求集合中的最小值：输出堆顶元素 删除任意一个元素：将要删除的元素与末尾元素交换，然后进行一次up和down操作 修改任意一个元素：将某位置的元素修改，然后进行一次up和down操作 删除最小值：交换堆顶元素 阅读全文
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并查集（Disjoint-Set） 并查集（Disjoint-Set）是一种可以动态维护若干个不重叠的集合，并支持合并与查询的数据结构。详细地说，并查集包括如下两个基本操作： Get，查询一个元素属于哪个集合。 Merge，把两个集合合并成一个大集合。 为了具体实现并查集这种数据结构，我们首先需要定 阅读全文
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Trie Trie（字典树）是一种用于实现字符串快速检索的多叉树结构。Trie 的每个节点都拥有若干个字符指针，若在插入或检索字符串时扫描到一个字符 c ，就沿着当前节点的 c 字符指针，走向该指针指向的节点。下面详细讨论 Trie 的基本操作过程： 初始化：一棵空 Trie 仅包含一个根结点，该点 阅读全文
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KMP KMP 算法，又称模式匹配算法，能够在线性时间内判定字符串 $P[1 \sim N]$ 是否为字符串 $S[1 \sim M]$ 的子串。并求出字符串 $P$ 在字符串 $S$ 中各次出现的位置。 首先，一个 $O(NM)$ 的朴素做法是，尝试枚举字符串 $S$ 中的每个位置 $i$，把字符 阅读全文
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单调队列 单调队列算法很多时候用手写的模拟队列比较方便，因为很多时候需要双口出队的队列，主要是在队尾也有删除元素的需求。而模拟队列都是游标移动来限定队列中的所有元素，所以用模拟队列很自然的可以做到双端队列的操作。 单调队列一个经典应用就是求滑动窗口里的最大（或者最小）值。 算法步骤： 把该滑出的滑出 阅读全文
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单调栈 题目链接:AcWing 830. 单调栈 时间复杂度：$O(N)$ #include <iostream> using namespace std; const int N = 1e5 + 10; int n; int stk[N], tt; // 数组模拟栈，栈顶指针默认为0（空） int 阅读全文
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队列 数组模拟队列 题目链接:AcWing 829. 模拟队列 #include <iostream> using namespace std; const int N = 100010; int n; int q[N]; int hh = 0, tt = -1; void push(int x) 阅读全文
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栈 数组模拟栈 题目链接:AcWing 828. 模拟栈 #include <iostream> using namespace std; const int N = 100010; int n; int stk[N], tt; void push(int x) { stk[++ tt] = x; 阅读全文
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双链表 题目链接:AcWing 827. 双链表 #include <iostream> using namespace std; const int N = 100010; int e[N], l[N], r[N], idx; void init() { // 头节点为0，尾节点为1，插入的节点标 阅读全文
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单链表 题目链接:AcWing 826. 单链表 #include <iostream> using namespace std; const int N = 100010; int n; int e[N], ne[N], head, idx; void init() { idx = 0; head 阅读全文
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区间合并 区间合并问题也是一个贪心问题，由于比较常用所以单独拿出来。区间合并的解决方法是，把所有区间按照左端点 $l$ 从小到大排序，然后维护一个当前正在处理的区间 $[st,ed]$，如果遍历到区间和维护的区间有交集，就合并（能合则合），没有交集的时候，当前维护的区间就变成这个遍历到的区间。 这里 阅读全文
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离散化 离散化是一种辅助解决问题的操作，当问题中涉及的数据范围非常大，但是实际使用到的数据是比较少的。并且问题的求解是和它范围里的其它数据有关系的，那么可以将这些可能使用到的数据放到一起，排序去重，就将它们映射到了一个新的较小的范围里。 例如，下面几个数是在 $(-\infty, \infty)$ 阅读全文
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位操作 lowbit原理 根据计算机负数表示的特点，如一个数字原码是10001000，他的负数表示形式是补码，也就是反码+1，反码是01110111，加一则是01111000，二者按位与得到了1000，就是我们想要的lowbit操作 题目链接:AcWing 801. 二进制中1的个数 #includ 阅读全文
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双指针算法 双指针算法的核心思想就是在序列上找到这样一个性质，序列上的一个指针 $j$ 随着另一个指针 $i$ 的移动，是单向移动的，不会发生回退，这样就能在移动指针 $i$ 的时候去移动指针 $j$。由于两个指针都最多只会把序列遍历一遍，所以时间复杂度往往是从 $O(n^2)$ 优化到 $O(n) 阅读全文
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前缀和与差分 前缀和与差分 一维前缀和 差分 一维前缀和 前缀和可以用于快速计算一个序列的区间和，也有很多问题里不是直接用前缀和，但是借用了前缀和的思想。 用 $s[i]$ 表示 $a[0]+a[1]+\dots+a[i]$ 的和（所以称为前缀和），那么要计算区间 $[l, r]$ 的和，也就是计算 阅读全文
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高精度 高精度 高精度加法 高精度减法 高精度乘法 高精度除法 高精度加法 题目链接:AcWing 791. 高精度加法 题目描述 给定两个正整数（不含前导 0），计算它们的和。 输入格式 共两行，每行包含一个整数。 输出格式 共一行，包含所求的和。 数据范围 $1 \le$ 整数长度 $\le 1 阅读全文